[论文解读] Pure point spectrum for dynamical systems and mean almost periodicity

Daniel Lenz, Timo Spindeler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文通過通用點的均值幾乎週期性，建立了遍歷動力系統中純點譜的特徵化，表明當且僅當幾乎所有點都是均值幾乎週期時，此類系統才具有純點譜。此外，本文將貝西科維奇與韋爾幾乎週期性與特徵函數及測度聯繫起來，並利用平均度量的布爾幾乎週期性，為純點譜提供了一個新證明，為非週期序與動力系統中的譜理論提供了新見解。

ABSTRACT

We consider metrizable ergodic topological dynamical systems over locally compact, $σ$-compact abelian groups. We study pure point spectrum via suitable notions of almost periodicity for the points of the dynamical system. More specifically, we characterize pure point spectrum via mean almost periodicity of generic points. We then go on and show how Besicovitch almost periodic points determine both eigenfunctions and the measure in this case. After this, we characterize those systems arising from Weyl almost periodic points and use this to characterize weak and Bohr almost periodic systems. Finally, we consider applications to aperiodic order.

研究动机与目标

• 透過點的幾乎週期性性質，特徵化遍歷拓撲動力系統中的純點譜。
• 建立通用點的均值幾乎週期性與系統譜類型之間的聯繫。
• 探討貝西科維奇與韋爾幾乎週期點如何與特徵函數及不變測度相關。
• 利用平均度量的布爾幾乎週期性，為純點譜特徵化提供新證明。
• 將結果應用於度量動力系統以及來自非週期序的系統，例如戴倫集合或平移有界的測度所產生的系統。

提出的方法

• 透過對軌道與其平移之間距離的平均，引入動力系統中點的均值幾乎週期性。
• 利用沿軌道取連續函數的取樣，特徵化均值幾乎週期性。
• 定義貝西科維奇幾乎週期點，並與譜測度及特徵函數聯繫起來。
• 應用韋爾幾乎週期性來研究唯一遍歷性與特徵函數的連續性。
• 利用費勒納序列與均值的均勻性，定義並分析韋爾幾乎週期函數。
• 採用近期關於平均度量的布爾幾乎週期性對純點譜的特徵化，以證明主要結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 當系統具有純點譜時，動力系統中通用點在何種條件下是均值幾乎週期的？
• RQ2 在遍歷系統中，貝西科維奇幾乎週期點如何與特徵函數及不變測度相關？
• RQ3 韋爾幾乎週期性在特徵化唯一遍歷性與特徵函數連續性方面扮演何種角色？
• RQ4 如何透過點的幾乎週期性來確定動力系統的譜類型？
• RQ5 這些特徵化在來自非週期序的系統（例如戴倫集合或平移有界測度所產生的系統）中以何種方式適用？

主要发现

• 在局部緊、σ-緊致的阿貝爾群上，具有可度量的遍歷拓撲動力系統具有純點譜，當且僅當幾乎所有點都是均值幾乎週期。
• 在遍歷系統中，若存在單一通用的均值幾乎週期點，則系統具有純點譜。
• 在具有純點譜的系統中，貝西科維奇幾乎週期點幾乎處處存在，且此類點可生成特徵函數，並決定不變測度。
• 韋爾幾乎週期點特徵化具有唯一遍歷性的系統與連續特徵函數。
• 主要結果的證明依賴於近期關於平均度量的布爾幾乎週期性對純點譜的特徵化，提供了一種與先前研究不同的新方法。
• 為韋爾幾乎週期函數確立了均值的統一存在性，確保了沿費勒納序列的平均值收斂性，且不依賴於平移序列。