[论文解读] Purity and 2-Calabi-Yau categories

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 113被引用 6

一句话总结

本文通过利用 Yoneda 代数的正式性以及预投射代数的 étale 局部模型，建立了具有良好模空间的 2-卡拉比-丘类别中混合霍赫德模的纯度。证明了直接像 $p_!ω_{\mathfrak{M}}$ 是纯的，将纯度推广至奇异和堆栈型模空间堆栈，并引入了尖点上同调作为 BPS 代数的生成元。

ABSTRACT

For various 2-Calabi-Yau categories $\mathscr{C}$ for which the stack of objects $\mathfrak{M}$ has a good moduli space $p\colon\mathfrak{M} ightarrow \mathcal{M}$, we establish purity of the mixed Hodge module complex $p_{!}\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$. We do this by using formality in 2CY categories, along with étale neighbourhood theorems for stacks, to prove that the morphism $p$ is modelled étale-locally by the semisimplification morphism from the stack of modules of a preprojective algebra. Then via the integrality theorem in cohomological Donaldson-Thomas theory we prove purity of $p_{!}\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$. It follows that the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber decomposition theorem for the constant sheaf holds for the morphism $p$, despite the possibly very singular and stacky nature of $\mathfrak{M}$. We use this to define cuspidal cohomology for $\mathfrak{M}$, which is conjecturally a complete space of generators for the BPS algebra associated to $\mathscr{C}$. We prove purity of the Borel-Moore homology of the moduli stack $\mathfrak{M}$, provided its good moduli space $\mathcal{M}$ is projective, or admits a suitable contracting $\mathbb{C}^*$-action. In particular, when $\mathfrak{M}$ is the moduli stack of Gieseker-semistable sheaves on a K3 surface, this proves a conjecture of Halpern-Leistner. We use these results to moreover prove purity for several stacks of coherent sheaves that do not admit a good moduli space. Without the usual assumption that $r$ and $d$ are coprime, we prove that the Borel-Moore homology of the stack of semistable degree $d$ rank $r$ Higgs sheaves is pure and carries a perverse filtration with respect to the Hitchin base, generalising the usual perverse filtration for the Hitchin system to the case of singular stacks of Higgs sheaves.

研究动机与目标

• 建立 2-卡拉比-丘类别中对象模空间堆栈的混合霍赫德模复形 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 的纯度，该类别具有良好的模空间。
• 将 perverse 分层和 Borel–Moore 上同调纯度的理论推广至奇异和堆栈型模空间堆栈，包括那些不具有良好模空间的堆栈。
• 定义并研究尖点上同调，作为 2CY 类别相关 BPS 代数的一组完整生成元的候选。
• 证明 Halpern–Leistner 关于 K3 表面上半稳定层模空间堆栈的纯度猜想。
• 将 Hitchin 系统上的 perverse 分层推广至不依赖于互质秩与次数的奇异 Higgs 线丛堆栈。

提出的方法

• 利用左 2CY 类别中具有半单自同态代数的对象的 Yoneda 代数的正式性，将局部结构约化为预投射代数。
• 应用 Alper、Hall 和 Rydh 的 étale 局部定理，证明良好模空间映射 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ 在 étale 局域上同构于预投射代数的半单化映射。
• 利用上同调唐纳森-托马斯理论中的整性定理，推导出 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 的纯度。
• 尽管 $\mathfrak{M}$ 具有堆栈性和奇异性质，仍应用 Beilinson–Bernstein–Deligne–Gabber 分解定理于 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$。
• 将尖点上同调构造为 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 中对应于最顶层 perverse 分层的直和项。
• 应用凝聚完备化和导出形变理论，分析 dg 类别中半单对象的形式邻域。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有良好模空间 $\mathcal{M}$ 的 2-卡拉比-丘类别中对象的模空间堆栈 $\mathfrak{M}$，混合霍赫德模复形 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 是否是纯的？
• RQ2 Borel–Moore 上同调上的 perverse 分层能否推广至奇异和堆栈型 Higgs 线丛模空间堆栈？
• RQ3 堆栈 $\mathfrak{M}$ 的尖点上同调是否能提供 2CY 类别 BPS 代数的一组完整生成元？
• RQ4 Halpern–Leistner 猜想指出，K3 表面上半稳定层模空间堆栈的 Borel–Moore 上同调是纯的，该猜想是否成立？
• RQ5 纯度结果能否推广至不具有良好模空间的凝聚层堆栈？

主要发现

• 对于任意具有良好模空间 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ 的 2-卡拉比-丘类别，混合霍赫德模 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 在所有 $i$ 上均为权重 $i$ 的纯度，且位于度数 $i$。
• 映射 $p: \mathfrak{M} \to \mathcal{M}$ 在 étale 局域上同构于从预投射代数表示堆栈到其仿射化空间的半单化映射。
• 尖点上同调被定义为 $p_!\underline{\mathbb{Q}}_{\mathfrak{M}}$ 的最顶层 perverse 分层，且猜想其能生成 2CY 类别的 BPS 代数。
• 当 $\mathcal{M}$ 是射影的或具有合适的 $\mathbb{C}^*$-作用时，$\mathfrak{M}$ 的 Borel–Moore 上同调是纯的。
• 纯度结果可推广至不需 $\gcd(r,d) = 1$ 的秩 $r$ 与次数 $d$ 的半稳定 Higgs 线丛堆栈，并在其 Hitchin 基底上携带一个 perverse 分层。
• 通过正式性，重新证明了 Kaledin–Lehn 关于 K3 表面上凝聚层的猜想，以及其在三次四超曲面或 Gushel–Mukai 空间中的 Kuznetsov 分量的推广。