[论文解读] Quantifying Distributional Model Risk in Marginal Problems via Optimal Transport

Yanqin Fan, Hyeonseok Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Risk and Portfolio OptimizationDecision Sciences被引用 3

一句话总结

本文提出了在边际问题中的Wasserstein分布模型风险（W-DMR-MP），其中边际分布位于参考测度周围的Wasserstein球内。通过最优传输和强对偶性，建立了该风险度量的有限性、最优解的存在性以及连续性，将Makarov界扩展至分布鲁棒设置，并在因果推断、风险管理及数据融合中具有实际应用价值。

ABSTRACT

This paper studies distributional model risk in marginal problems, where each marginal measure is assumed to lie in a Wasserstein ball centered at a fixed reference measure with a given radius. Theoretically, we establish several fundamental results including strong duality, finiteness of the proposed Wasserstein distributional model risk, and the existence of an optimizer at each radius. In addition, we show continuity of the Wasserstein distributional model risk as a function of the radius. Using strong duality, we extend the well-known Makarov bounds for the distribution function of the sum of two random variables with given marginals to Wasserstein distributionally robust Markarov bounds. Practically, we illustrate our results on four distinct applications when the sample information comes from multiple data sources and only some marginal reference measures are identified. They are: partial identification of treatment effects; externally valid treatment choice via robust welfare functions; Wasserstein distributionally robust estimation under data combination; and evaluation of the worst aggregate risk measures.

研究动机与目标

• 解决在仅掌握部分边际信息时的模型误设与分布偏移问题。
• 为在Wasserstein球内边际分布不确定时量化分布模型风险，构建统一框架。
• 利用最优传输工具，将经典Makarov界扩展至分布鲁棒设置。
• 为所提出的Wasserstein分布模型风险提供理论保证——强对偶性、有限性、最优解存在性及连续性。
• 支持在处理效应估计、鲁棒福利分析、数据融合及最坏情况风险评估等实际应用中的鲁棒推断与决策。

提出的方法

• 将Wasserstein分布模型风险在边际问题（W-DMR-MP）中形式化，其中每个边际测度被约束在以参考测度为中心的Wasserstein球内。
• 通过Legendre-Fenchel变换应用强对偶性，将风险最小化问题转化为涉及最优传输计划的对偶形式。
• 利用最优传输理论，推导出非重叠与重叠边际情形下的对偶表示。
• 建立风险度量关于Wasserstein半径的连续性，确保在模糊集扰动下的稳定性。
• 通过在Wasserstein模糊性下的对偶公式，将经典Makarov界扩展为分布鲁棒版本。
• 运用凸分析与最优传输的工具，包括代价函数与耦合测度，推导理论性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅掌握部分边际信息且真实联合分布未知时，如何量化分布模型风险？
• RQ2 Wasserstein分布模型风险在边际问题中的理论性质（如强对偶性、有限性与连续性）是什么？
• RQ3 在Wasserstein模糊性下，能否将经典Makarov界（针对随机变量之和）扩展至分布鲁棒设置？
• RQ4 所提出的框架如何支持在处理效应估计与风险管理等应用中的鲁棒推断与决策？
• RQ5 在Wasserstein半径扰动下，最优解存在性与风险度量稳定性的条件是什么？

主要发现

• Wasserstein分布模型风险在边际问题中对每个半径均为有限值，并存在最优解，确保问题定义良好。
• 在标准条件下，非重叠与重叠边际情形下均成立强对偶性，支持风险最小化问题的对偶重构。
• 风险度量关于Wasserstein球半径连续，确保在模糊集小扰动下的稳定性。
• 在固定边际下，随机变量平滑泛函期望值的识别集为闭区间，源于有限性与最优解存在性。
• 通过双面对偶公式，将经典Makarov界扩展为分布鲁棒版本——即Wasserstein分布鲁棒Makarov界。
• 对偶表示支持高效计算与理论分析，尤其适用于多个数据源中边际信息不完整的情形。