[论文解读] Quantum algorithm for imaginary-time Green's functions

Diksha Dhawan, Dominika Zgid+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种混合量子-经典算法，利用变分量子本征求解器（VQE）和量子子空间展开（QSE），计算量子多体系统的虚时格林函数。该方法通过VQE估算的基态和QSE提取的激发态，在莱赫曼表示中计算马茨巴里格林函数，在量子模拟器和IBM的噪声硬件上对H₂和H₄实现了精确结果，误差缓解技术使即使在噪声环境下也能可靠提取结果。

ABSTRACT

Green's function methods lead to ab initio, systematically improvable simulations of molecules and materials while providing access to multiple experimentally observable properties such as the density of states and the spectral function. The calculation of the exact one-particle Green's function remains a significant challenge for classical computers and was attempted only on very small systems. Here, we present a hybrid quantum-classical algorithm to calculate the imaginary-time one-particle Green's function. The proposed algorithm combines variational quantum eigensolver and quantum subspace expansion to calculate Green's function in Lehmann's representation. We demonstrate the validity of this algorithm by simulating H$_2$ and H$_4$ on quantum simulators and on IBM's quantum devices.

研究动机与目标

• 解决强关联体系精确单粒子格林函数计算的挑战，该问题对经典计算机而言在小系统之外仍难以处理。
• 开发一种适用于近期量子设备的量子算法，用于计算虚时格林函数，从而获得对材料和分子模拟至关重要的热力学与谱学性质。
• 通过采用莱赫曼表示和子空间展开，克服现有变分时间演化方法的局限性，提升精度和抗噪声能力。
• 通过误差缓解和统计重采样技术，在噪声中等规模量子（NISQ）设备上验证该算法的可行性与鲁棒性。

提出的方法

• 使用变分量子本征求解器（VQE）近似求解体系哈密顿量的基态，获得N电子基态波函数。
• 对VQE基态应用量子子空间展开（QSE），生成N+1和N−1电子构型的激发态子空间。
• 利用量子线路和测量协议计算基态与扩展激发态之间的跃迁矩阵元。
• 通过经典方法，基于计算得到的能量层级和跃迁矩阵元，重构莱赫曼表示中的马茨巴里格林函数。
• 实施读出误差缓解和自助法重采样，以减少量子硬件结果中的统计噪声和硬件噪声。
• 在量子模拟器（状态矢量和QASM）以及IBM的真实量子硬件（ibm_hanoi）上验证该算法，并与全配置相互作用（FCI）基准结果进行比较。

Figure 1: Quantum circuit implementing a qubit coupled cluster ansatz for a two-electron in two-orbital system. Four qubits are used, storing the occupancies of the spin-up ( $0\alpha,1\alpha$ ) and spin-down ( $0\beta,1\beta$ ) orbitals in the standard Jordan-Wigner representation (qubits are order

实验结果

研究问题

• RQ1 基于VQE和QSE的混合量子-经典算法能否在近期量子设备上准确计算小分子的虚时格林函数？
• RQ2 量子硬件噪声和测量误差如何影响所计算格林函数的保真度？误差缓解技术是否能恢复精度？
• RQ3 电子数期望值的偏差在多大程度上与格林函数实部的误差相关？
• RQ4 该算法能否扩展至更大体系？将其推广至更复杂的分子或材料体系时，计算瓶颈是什么？
• RQ5 与FCI参考数据相比，QSE子空间大小的选择如何影响格林函数的精度？

主要发现

• 该算法成功利用VQE和QSE计算了H₂和H₄的马茨巴里格林函数，在无噪声极限下与FCI基准结果高度一致。
• 在IBM量子设备ibm_hanoi上，格林函数的实部对噪声更为敏感，其误差与电子数期望值的偏差直接相关。
• 读出误差缓解和自助法重采样显著提升了硬件结果的可靠性，实现了稳定的误差条和准确的谱学特征。
• 通过统计后处理，该算法展现出对噪声的鲁棒性，表明有意义的物理可观测量可从NISQ时代设备中提取。
• 围绕VQE基态的QSE子空间展开，能够准确提取莱赫曼表示所必需的激发态矩阵元。
• 该方法可扩展至更大体系，矩阵元计算可通过经典处理器实现并行化。

Figure 2: Real (top panel) and imaginary part (bottom panel) of $G_{00}(\iota\omega)$ element for the H 2 molecule in the STO-6G basis evaluated using FCI and QSE. The inset shows the difference between Green’s functions calculated using FCI and QSE.