[论文解读] Quantum algorithms for grid-based variational time evolution

Pauline J. Ollitrault, Sven Jandura+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种变分量子算法，用于在第一量化网格编码下模拟量子动力学，通过利用位置和动量基测量来减少电路深度和测量开销。该方法引入子空间对角化以稳定变分时间演化，显著降低参数数量，并在一维和二维系统中提升保真度。

ABSTRACT

The simulation of quantum dynamics calls for quantum algorithms working in first quantized grid encodings. Here, we propose a variational quantum algorithm for performing quantum dynamics in first quantization. In addition to the usual reduction in circuit depth conferred by variational approaches, this algorithm also enjoys several advantages compared to previously proposed ones. For instance, variational approaches suffer from the need for a large number of measurements. However, the grid encoding of first quantized Hamiltonians only requires measuring in position and momentum bases, irrespective of the system size. Their combination with variational approaches is therefore particularly attractive. Moreover, heuristic variational forms can be employed to overcome the limitation of the hard decomposition of Trotterized first quantized Hamiltonians into quantum gates. We apply this quantum algorithm to the dynamics of several systems in one and two dimensions. Our simulations exhibit the previously observed numerical instabilities of variational time propagation approaches. We show how they can be significantly attenuated through subspace diagonalization at a cost of an additional $\mathcal{O}(MN^2)$ 2-qubit gates where $M$ is the number of dimensions and $N^M$ is the total number of grid points.

研究动机与目标

• 解决在第一量化中使用 Trotter 化时间演化模拟量子动力学时面临的深度量子电路挑战。
• 通过利用仅需位置和动量基测量的网格化哈密顿量编码，克服变分量子算法中典型的高测量开销。
• 通过局部对角化方案稳定变分时间演化，该方法易受数值不稳定性影响。
• 通过投影动力学到由参考哈密顿量本征态张成的动力学相关子空间，减少变分参数数量。
• 实现在含一般势能（包括非多项式及库仑相互作用）系统上，使用近场量子硬件高效模拟量子动力学。

提出的方法

• 在第一量化中使用变分量子算法表述时间演化，将哈密顿量编码在空间网格上。
• 使用含参数的量子线路变分试探态准备时间演化态，最小化时间有序能量的期望值。
• 应用由参考哈密顿量 H₀ 的经典对角化导出的酉变换 D，将变分态映射到部分对角化完整哈密顿量的基中。
• 通过 Qiskit 中的等距分解实现对角化酉变换 D，实现高效的量子线路构造。
• 引入截断阈值执行部分对角化，减少非零矩阵元并降低计算成本，同时保持精度。
• 使用带重加权的最小二乘拟合稳定优化过程，减少参数更新中的数值误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分量子算法能否在量子动力学的网格化第一量化时间演化中实现稳定与高效？
• RQ2 在网格上模拟量子系统时，如何最小化变分算法中的测量开销？
• RQ3 子空间对角化在多大程度上可减少变分参数数量，同时保持模拟保真度？
• RQ4 通过系数截断实现的部分对角化对变分时间演化精度与稳定性有何影响？
• RQ5 该方法能否推广至具有复杂或非多项式势能的系统，如库仑势或非线性相互作用？

主要发现

• 所提出的变分量子算法在谐振子和 Eckart 障壁系统中，使用 6 量子比特，在长时间模拟下均实现了接近 1 的高态保真度。
• 子空间对角化通过将动力学投影到由参考哈密顿量相关本征态张成的低维不变子空间，显著减少了有效变分参数数量。
• 采用截断阈值 0.1 和 1.0 的部分对角化保持了高保真度，非零矩阵元密度分别为 0.27 和 0.14，表明对截断具有鲁棒性。
• 该算法通过将问题转化为更平滑的优化景观，稳定了原本数值不稳定的变分时间演化。
• 通过仅限制测量于位置和动量基，该方法减少了电路深度和测量成本，且与系统尺寸无关。
• 该方法具有可扩展性，适用于更广泛的问题类别，包括电子-声子系统、非线性动力学以及离散化于网格上的量子场论。