[论文解读] Simulations of Many-Body Quantum Systems by a Quantum Computer

Stephen Wiesner|ArXiv.org|Mar 26, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 128

一句话总结

本文提出，通过利用量子比特纠缠来表示复杂的量子态，量子计算机能够高效地模拟量子多体系统（如原子和分子）。与经典计算机面临指数级资源扩展不同，该量子方法通过哈密顿量分解应用幺正演化步骤，实现多项式时间模拟，从而克服经典方法的指数扩展，实现精确且可扩展的量子动力学模拟。

ABSTRACT

We suggest that quantum computers can solve quantum many-body problems that are impracticable to solve on a classical computer.

研究动机与目标

• 证明量子计算机能够高效模拟经典计算机难以处理的量子多体系统。
• 解决经典模拟的根本局限性，即由于需要追踪 $2^N$-维希尔伯特空间而导致的系统规模指数级扩展。
• 提出一种实用的量子算法，用于模拟由一和两体哈密顿量控制的系统，采用基于量子比特的态表示和时间演化算符。
• 表明模拟时间随系统规模呈多项式增长，与经典方法的指数增长形成对比。

提出的方法

• 使用 $k$ 个量子比特表示系统中的每个量子粒子，将空间波函数离散化为 $2^k$ 个位置区间。
• 按顺序对每个哈密顿量项（一和两体）应用时间演化算符 $I + iH\Delta t/\hbar$，采用小时间步长 $\Delta t$。
• 在量子比特寄存器上使用快速傅里叶变换（FFTs），在位置表象和动量表象之间切换，以高效实现 $P^2/2m$ 项的演化。
• 通过从当前量子比特态计算位置相关势能项 $V_{ij}$ 的值，并应用与 $\Delta t V_{ij}/\hbar$ 成比例的相位移，实现势能项的演化。
• 重复完整的时序演化序列 $T/\Delta t$ 次，以模拟时间 $T$ 内的动力学，随后测量最终态以提取可观测量。
• 利用量子叠加和纠缠，自然地表示和演化多体波函数，而无需显式存储完整的振幅向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机能否比经典计算机更高效地模拟量子多体系统？
• RQ2 对具有 $N$ 个粒子和一、两体相互作用的系统，其时间演化模拟的计算复杂度是多少？
• RQ3 如何在量子计算机上使用量子比特寄存器高效实现相互作用粒子的薛定谔方程？
• RQ4 能否使用量子算法在多项式时间内模拟多体系统的指数级希尔伯特空间？
• RQ5 纠缠在实现量子计算机上高效模拟量子动力学中起到什么作用？

主要发现

• 在 $M$ 个一和两体哈密顿量作用下，对 $N$ 个两态系统的模拟可在 $N$ 的多项式时间内完成，避免了经典方法的指数级扩展。
• 对于一维中 $N$ 个粒子、每个粒子使用 $k$ 个量子比特的情况，总模拟时间在 $N$ 和 $k$ 上呈多项式增长，具体为每时间步 $O(Nk \log k)$。
• 使用 FFTs 可高效实现动量空间演化，将动能项的成本从每粒子的 $O(2^k)$ 降低至 $O(k \log k)$。
• 该方法自然处理位置态的叠加，并基于纠缠配置应用相位移，从而保持量子相干性。
• 通过重复模拟并平均结果获得测量结果，从而准确获得可观测量的期望值。
• 该方法避免了存储 $2^{Nk}$-维振幅向量的需求，而这是经典计算机无法实现的。