[论文解读] Quantum simulation of Maxwell's equations via Schrödingersation

Shi Jin, Nana Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Schrödingerisation方法的量子算法，用于模拟麦克斯韦方程组，该方法通过在扩展空间中引入扭曲相位变换，将非幺正的电磁动力学转化为幺正演化。该方法能够精确模拟具有物理边界和界面条件的电磁场，在离散（Yee格式和迎风格式）与连续变量量子框架中均实现了高保真度，数值结果与QLA参考解及精确解析解一致。

ABSTRACT

We present quantum algorithms for electromagnetic fields governed by Maxwell's equations. The algorithms are based on the Schrödingersation approach, which transforms any linear PDEs and ODEs with non-unitary dynamics into a system evolving under unitary dynamics, via a warped phase transformation that maps the equation into one higher dimension. In this paper, our quantum algorithms are based on either a direct approximation of Maxwell's equations combined with Yee's algorithm, or a matrix representation in terms of Riemann-Silberstein vectors combined with a spectral approach and an upwind scheme. We implement these algorithms with physical boundary conditions, including perfect conductor and impedance boundaries. We also solve Maxwell's equations for a linear inhomogeneous medium, specifically the interface problem. Several numerical experiments are performed to demonstrate the validity of this approach. In addition, instead of qubits, the quantum algorithms can also be formulated in the continuous variable quantum framework, which allows the quantum simulation of Maxwell's equations in analog quantum simulation.

研究动机与目标

• 开发能够整合物理边界和界面条件的麦克斯韦方程组量子算法，此类条件在标准量子模拟中因非幺正动力学而具有挑战性。
• 将先前应用于常微分方程和偏微分方程的Schrödingerisation方法扩展至由麦克斯韦方程组支配的电磁场系统。
• 证明所提出的量子模拟框架能够保持关键物理性质，如无散度磁场和总电磁能量。
• 实现在离散（基于量子比特）与连续变量量子计算平台上的量子模拟，提升对近中期设备的适用性。
• 通过在理想导体、阻抗介质及非均匀介质（含材料界面）上的数值实验验证该方法，与解析解和参考数值解进行对比。

提出的方法

• Schrödingerisation方法通过在辅助空间维度中引入扭曲相位变换，将麦克斯韦方程组转化为幺正演化问题，从而将非幺正动力学转化为幺正动力学。
• 该方法同时应用于Riemann-Silberstein向量形式（八维矩阵表示）和标准电场/磁场形式。
• 在空间离散化方面，采用Yee格式和迎风格式，后者在Schrödingerisation下表现出一阶空间精度但具有良好的稳定性。
• 通过在矩阵表示上施加幺正变换来实现边界条件（周期性、理想导体和阻抗），从而保持物理约束。
• 在非均匀介质中，通过浸入界面方法（IIM）处理界面条件，确保对介电常数和磁导率不连续性的准确处理。
• 该框架进一步扩展至连续变量量子系统，避免了因空间变化的波速而产生的密集哈密顿矩阵，从而实现更高效的模拟量子模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 Schrödingerisation方法能否有效应用于麦克斯韦方程组，以实现具有物理边界条件的幺正量子模拟？
• RQ2 Schrödingerisation对数值格式中无散度磁场和总电磁能量等基本物理性质的保持程度如何？
• RQ3 该方法在模拟具有不连续介电常数和磁导率的材料界面处电磁波传播时，其准确性在多大程度上得以保证？
• RQ4 在Schrödingerisation框架下，Yee格式与迎风格式在精度和稳定性方面如何比较？
• RQ5 Schrödingerisation方法能否适配连续变量量子系统，以实现电磁场的模拟量子模拟？

主要发现

• 数值实验验证表明，Schrödingerisation方法在Yee格式和迎风格式中均成功保持了磁场的无散度条件和电磁场的总能量。
• 数值模拟显示，在相同网格尺寸下，Schrödingerisation方法与Yee格式结合时精度高于迎风格式，后者表现出一阶空间收敛性。
• 该方法能准确捕捉材料界面处的电磁波反射与透射，其结果与ε₂=2、μ₂=2的介质界面的精确解析解高度一致。
• 对于从真空（ε₁=1，μ₁=1）向介质（ε₂=3，μ₂=1）传播的高斯脉冲，Schrödingerisation方法产生的解与使用精细网格（M=2¹¹）的量子格点算法（QLA）结果高度吻合。
• 通过幺正变换在Schrödingerised框架中实现理想导体和阻抗边界条件，保持了物理一致性，并与预期场行为一致。
• 在连续变量量子框架中，该方法避免了因空间变化的波速而产生的密集哈密顿矩阵，从而实现了更高效的麦克斯韦方程组模拟量子模拟。