[论文解读] Rényi Entropy for the $\sun1$ WZW model on the torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Quantum many-body systems参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文利用n重分支黎曼面，在有限温度下通过复制技巧计算了环面上 $\mathrm{SU}(N)_1$ Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型的Rényi熵。通过复制技巧推导出Rényi熵，显示出在低温和区间尺寸极限下的普遍行为，但由于Riemann-Siegel theta函数的存在，无法实现向 $n\to1$ 的解析延拓，因而无法提取纠缠熵。

ABSTRACT

The $\sun1$ WZW model is constructed on a n-sheeted branched torus, which allows the investigation of the Rényi entropy for a single interval at finite temperature. The small and large interval limits, as well as the low temperature expansion are presented for this theory.

研究动机与目标

• 计算有限温度下环面上 $\mathrm{SU}(N)_1$ WZW 模型的Rényi熵。
• 研究Rényi熵在小区间和大区间极限以及低温区域的行为。
• 探讨由于Riemann-Siegel theta函数的存在，向 $n\to1$ 解析延拓受阻的问题及其对纠缠熵的影响。
• 为未来研究该模型中Bose-Fermi对偶性及Rényi熵的拓扑全息对偶性奠定基础。

提出的方法

• 使用复制技巧在n重分支环面上构造 $\mathrm{SU}(N)_1$ WZW 模型，其中划分函数 $Z_n$ 定义在n重黎曼曲面上。
• 基于权格和Cartan矩阵，采用WZW模型的玻色化表述，其作用量涉及度量 $g_{ij}$ 和反对称张量 $b_{ij}$。
• 计算 $Z_n = Z_{n,\text{classical}} Z_{n,\text{quantum}}$ 的经典与量子贡献，其中 $Z_{n,\text{classical}} \propto |\Theta(0|i\Omega)|^2$。
• 通过theta函数的渐近展开推导Rényi熵的小区间和大区间极限。
• 对 $Z_n$ 进行低温展开，以 $e^{-\pi\beta}$ 的幂级数形式表示，其中 $\beta$ 为逆温度。
• 通过 $S_n = -\frac{1}{n-1}\log\left(\frac{Z_n}{Z_1^n}\right)$ 提取Rényi熵，重点关注极限下的主导项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小区间和大区间极限下，$\mathrm{SU}(N)_1$ WZW 模型在环面上的Rényi熵行为如何？
• RQ2 该模型在低温区域下Rényi熵的行为如何？
• RQ3 为何在此理论中向 $n\to1$ 的解析延拓受阻？其对纠缠熵有何影响？
• RQ4 Riemann-Siegel theta函数在划分函数中的作用是什么？其对复制技巧有何影响？
• RQ5 在低温极限下，$\mathrm{SU}(N)_1$ WZW 模型的Rényi熵与通用CFT预测相比如何？

主要发现

• 在小区间极限下，Rényi熵与Cardy和Herzog预测的通用CFT行为一致，主导修正项与 $e^{-\pi\beta}$ 成正比。
• 在大区间极限下，Rényi熵的标度行为为 $S_n \sim \tilde{c}_n - \frac{1}{n-1} \cdot 4n(N-1) \left( \frac{\sin \pi(l/L)}{n \sin(\pi/n)(l/L)} - 1 \right) e^{-\pi\beta} + \cdots$。
• 低温展开中，$Z_n$ 主要由真空扇区主导，主导修正项与 $e^{-\pi\beta}$ 及 $N-1$ 有关。
• 经典划分函数 $Z_{n,\text{classical}}$ 依赖于 $|\Theta(0|i\Omega)|^2$，这阻止了向 $n\to1$ 的解析延拓，因此无法提取纠缠熵。
• Rényi熵在小区间极限下表现出普遍的 $\sim \frac{c}{12} n(1 - 1/n^2)$ 标度行为，与CFT预期一致。
• 尽管本文采用玻色化表述，但Rényi熵的费米子表述及Bose-Fermi对偶性仍为未来研究的开放问题。