[论文解读] Rainbow connections for planar graphs and line graphs

Xiaolong Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文確立了平面圖與線圖中彩虹連通性的計算複雜度，證明即使在平面二分圖與線圖中，判斷彩虹連通性仍為 NP-完全問題。此外，本文針對直徑較小的外平面圖提供了緊緻的上界，顯示對於直徑為 2 的圖，rc(G) ≤ 3；對於直徑為 3 的無橋外平面圖，rc(G) ≤ 6。

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is rainbow connected if any two vertices are connected by a path whose edges have distinct colors. The rainbow connection number of a connected graph $G$, denoted by $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow connected. It was proved that computing $rc(G)$ is an NP-Hard problem, as well as that even deciding whether a graph has $rc(G)=2$ is NP-Complete. It is known that deciding whether a given edge-colored graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is a planar bipartite graph. We also give upper bounds of the rainbow connection number of outerplanar graphs with small diameters. A vertex-colored graph is rainbow vertex-connected if any two vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of a connected graph $G$, denoted by $rvc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow vertex-connected. It is known that deciding whether a given vertex-colored graph is rainbow vertex-connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the vertex-colored graph is a line graph.

研究动机与目标

• 確定判斷邊染色平面二分圖是否為彩虹連通的計算複雜度。
• 探討頂點染色線圖中彩虹頂點連通性的複雜度。
• 根據直徑，建立無橋外平面圖彩虹連通數的緊緻上界。
• 將已知的 NP-完全性結果擴展至更受限制的圖類別，包括平面圖與線圖。
• 提供關於稀疏圖與幾何受限圖族中彩虹連通性的結構洞見。

提出的方法

• 透過邊的 subdividing 並保留染色結構，將一般邊染色彩虹連通性問題多項式時間歸約至平面二分圖。
• 利用從一般 NP-完全問題的歸約，證明平面二分圖中邊染色彩虹連通性的 NP-完全性。
• 分析直徑較小的外平面圖結構，識別支配集與弦配置，以界定彩虹連通數。
• 從具懸掛頂點的基圖 $G$ 建構線圖 $G'$，以模擬頂點染色中的邊染色，並保留彩虹連通性性質。
• 定義線圖 $G'$ 上的頂點染色 $c'$，使得 $G$ 中的邊顏色對應至 $G'$ 中的頂點顏色，並證明 $G$ 與 $G'$ 中彩虹連通性的等價性。
• 基於頂點相鄰關係與路徑存在性之結構論證，驗證 $G'$ 中的彩虹頂點連通性可推出 $G$ 的彩虹連通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 判斷邊染色平面二分圖是否為彩虹連通的問題是否為 NP-完全？
• RQ2 判斷頂點染色線圖是否為彩虹頂點連通的問題是否為 NP-完全？
• RQ3 無橋外平面圖直徑為 2 時，其最大可能的彩虹連通數為何？
• RQ4 無橋外平面圖直徑為 3 時，其最大可能的彩虹連通數為何？
• RQ5 邊染色彩虹連通問題能否被歸約為線圖上的頂點染色問題，同時保留複雜度？

主要发现

• 判斷邊染色平面二分圖是否為彩虹連通的問題是 NP-完全的。
• 判斷頂點染色線圖是否為彩虹頂點連通的問題是 NP-完全的。
• 對於任何直徑為 2 的無橋外平面圖，其彩虹連通數至多為 3。
• 對於任何直徑為 3 的無橋外平面圖，其彩虹連通數至多為 6。
• 圖的彩虹連通數下界為其直徑，上界為 $n-1$，且在外平面圖中確立了緊緻的上下界。
• 從邊染色圖到頂點染色線圖的歸約保留了彩虹連通性質，從而確立了複雜度等價性。