[论文解读] Ramond-Ramond fields and twisted differential K-theory

Daniel Grady, Hisham Sati|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 80被引用 7

一句话总结

本文在微分K-理论中建立了扭化的微分陈示性类映射，通过纤维丛与联络的Ramond-Ramond场，对经典陈示性类进行了推广。它构造了一个从扭化微分K-理论到有理数微分上同调的典范同态，展示了其与未扭化情形的相容性，并通过Deligne-Beilinson上积构造了Â-示性类的微分提升。

ABSTRACT

We provide a systematic approach to describing the Ramond-Ramond (RR) fields as elements in twisted differential K-theory. This builds on a series of constructions by the authors on geometric and computational aspects of twisted differential K-theory, which to a large extent were originally motivated by this problem. In addition to providing a new conceptual framework and a mathematically solid setting, this allows us to uncover interesting and novel effects. Explicitly, we use our recently constructed Atiyah-Hirzebruch spectral sequence (AHSS) for twisted differential K-theory to characterize the RR fields and their quantization, which involves interesting interplay between geometric and topological data. We illustrate this with the examples of spheres, tori, and Calabi-Yau threefolds.

研究动机与目标

• 在微分K-理论中定义一个包含Ramond-Ramond场的扭化微分陈示性类。
• 构造一个从扭化微分K-理论到有理数微分上同调的典范同态，以推广经典陈示性类。
• 通过Pontrjagin类的Deligne-Beilinson上积，提供Â-示性类的微分提升。
• 通过局部平凡性建立扭化示性类与未扭化情形的相容性。
• 为包含eta形式等二级项的微分K-理论中的Riemann-Roch定理奠定基础。

提出的方法

• 利用同伦拉直的普遍性质，从带联络的纤维丛的堆栈 $\mathbf{B}^2U(1)_\nabla$ 到微分K-理论的扭化堆栈 $\widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$ 定义一个映射。
• 通过微分环谱上的$\infty$-Grothendieck构造，利用未扭化的微分陈示性类 $\widehat{\rm ch}: \widehat{\rm K} \to \widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}]$ 构造扭化微分陈示性类。
• 通过Deligne-Beilinson上积 $\cup_{\rm DB}$ 定义Pontrjagin类的微分提升，得到类 $\hat{\mathbb{A}}(M;\nabla_g) \in \widehat{H}^*(M;\mathbb{Q}[u,u^{-1}])$。
• 通过构造一个映射 $j: \mathbf{B}^2\mathbb{R}/\mathbb{Q}_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}])$ 实现扭化示性类与有理上同调扭化之间的相容性。
• 利用包含 $\Omega^3_{\rm cl}$、$\mathbf{B}^3\mathbb{Z}$ 和 $\mathbf{B}^3\mathbb{R}$ 的同伦拉直图，通过闭3-形式曲率 $H \in \Omega^3_{\rm cl}(M)$ 实现扭化。
• 应用同伦拉直的普遍性质，从底层拓扑扭化 $h: M \to \mathbf{B}^3\mathbb{Z}$ 诱导出映射 $i: \mathbf{B}^2U(1)_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Ramond-Ramond场将微分陈示性类扩展到扭化微分K-理论？
• RQ2 从带联络的纤维丛到微分K-理论扭化堆栈的典范映射是什么？
• RQ3 如何通过Deligne-Beilinson上同调在微分设定中提升Â-示性类？
• RQ4 二级项（如$\eta$-形式）在Riemann-Roch定理的完整微分提升中起什么作用？
• RQ5 扭化微分陈示性类在局部如何退化为未扭化情形？

主要发现

• 构造了一个典范同态 $i: \mathbf{B}^2U(1)_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$，将带联络的纤维丛实现为微分K-理论的扭化。
• 扭化微分陈示性类 $\widehat{{\rm ch}}_{\hat{h}}$ 被定义为层谱丛之间的同态，$\widehat{\rm K}_{\hat{h}} \to \widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}]_{\hat{h}}$，其在局部限制为未扭化的微分陈示性类。
• 微分提升的Â-示性类由 $\hat{\mathbb{A}}(M;\nabla_g) = 1 - \frac{1}{24}\hat{p}_1 + \frac{1}{5760}(7\hat{p}_1^2 - 4\hat{p}_2) + \cdots$ 给出，其中乘积通过Deligne-Beilinson上积定义。
• 该构造通过映射 $j: \mathbf{B}^2\mathbb{R}/\mathbb{Q}_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}])$ 因子化，确保了扭化K-理论与有理上同调扭化之间的相容性。
• 通过涉及逆扭化的同伦交换图，证明了扭化示性类在$\rm Spin^c$-流形上与Poincar\'e对偶性相容。
• 本文指出，在完整的微分提升中必须包含二级$\eta$-形式，特别是在IIA型弦理论中的D-膜电荷中尤为重要。