[论文解读] Rationality of the exceptional W-algebras $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$ associated with subregular nilpotent elements of $\mathfrak{sp}_4$

Justine Fasquel|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文证明了在允许水平 $k = -3 + p/3$ 和 $k = -3 + p/4$ 下，例外 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ 的合理性，确立其单模完全可约，并计算了它们的特征标。该工作证实了 Kac-Wakimoto 在此情形下的猜想，并明确描述了基灵群在模范畴上的非平凡作用。

ABSTRACT

We prove the rationality of the exceptional W-algebras associated with the simple Lie algebra $\mathfrak{sp}_4$ and subregular nilpotent elements, proving a new particular case of a conjecture of Kac-Wakimoto. Moreover, we describe the simple $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$-modules and compute their characters. We also explicit the nontrivial action of the component group on the set of these simple modules.

研究动机与目标

• 证明在允许水平 $k = -3 + p/3$ 和 $k = -3 + p/4$ 下，例外 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ 的合理性，从而确认 Kac-Wakimoto 的猜想。
• 对所有 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-单模进行分类并计算其特征标。
• 明确描述基灵群在单模集合上的非平凡作用。

提出的方法

• 将 Drinfeld-Sokolov 约化函子 $H_f$ 应用于仿射 Kac-Moody 代数 $>hat{\mathfrak{sp}}_4$ 的可积最高权模 $χ_k(\lambda^{(s)}_{i,j})$。
• 利用 [26, 第3节] 中的特征标公式，计算约化模 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))$ 的特征标。
• 应用仿射 Weyl 群作用与通过扩展仿射 Weyl 群 $\widetilde{W}$ 的扭曲轨道和，特别使用元素 $y = r_{\alpha_1} r_{\alpha_2} t_{-\varpi_1^\vee}$。
• 依赖于当 $q = 3$ 或 $q = 4$ 时，$L_k(\mathfrak{sp}_4)$ 的关联概形为子正则幂零轨道 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ 的事实，将允许水平与例外对条件联系起来。
• 利用同构 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) \cong L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$ 识别单模及其特征标。
• 确立约化集中在零度，即 $H^l_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) = 0$ 对于 $l \neq 0$，从而确认模结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在允许水平 $k = -3 + p/3$ 和 $k = -3 + p/4$ 下，例外 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ 是否具有合理性？
• RQ2 如何通过 Drinfeld-Sokolov 约化计算 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-单模的特征标？
• RQ3 幂零轨道 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ 的基灵群如何在单模集合上实现非平凡作用？

主要发现

• 当 $(p,3) = 1$，$p \geq 3$ 时，$χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ 在允许水平 $k = -3 + p/3$ 下具有合理性；当 $(p,2) = 1$，$p \geq 4$ 时，$k = -3 + p/4$ 下也具有合理性，从而在此情形下证实了 Kac-Wakimoto 的猜想。
• 所有 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-单模均来自仿射 $\widehat{\mathfrak{sp}}_4$-可积最高权模的 Drinfeld-Sokolov 约化之零阶上同调。
• 每个单模 $L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$ 的特征标由公式 $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})}(q,z) = \operatorname{ch}_{H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))}(q,z)$ 给出，通过仿射 Weyl 群轨道和显式计算得出。
• 子正则幂零轨道 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ 的基灵群在单模集合上实现非平凡作用，这一点由特征标公式的结构及 Weyl 群元素的作用所证实。
• 当 $k = -3 + p/3$ 时，单模由 $L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})$ 标记，其中 $i,j$ 满足 $1 \leq i \leq j \leq p-1$，$i+j \leq p$，其特征标公式为 $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})}(q,z) = \frac{q^{\chi^{(3)}_{i,j}+2p-2i-\frac{j}{2}}z^{-\frac{2p}{3}+\frac{1}{2}}}{\prod_{n>0}(1-q^n)^2} \prod_{n>0}(1-q^{n-1}z)^{-1}(1-q^n z^{-1})^{-1} \sum_{w,\eta} \epsilon(wt_{3\eta}) q^{\cdots} z^{\cdots}$。
• 当 $k = -3 + p/4$ 时，单模由 $L(\xi^{(2')}_{i,j}, \chi^{(2')}_{i,j})$ 标记，其特征标公式具有类似结构，包含对 $W \times Q^\vee$ 的求和以及扭曲 Weyl 群作用。