[论文解读] Refined global Gross-Prasad conjecture on special Bessel periods and Boecherer's conjecture

Masaaki Furusawa, Kazuki Morimoto|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文在温和性与离散系列条件之下，证明了关于 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ 的特殊贝塞尔周期的显式 Ichino-Ikeda 型公式，用于表达中心值 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $。该结果在此情况下证实了刘的精细 Gross-Prasad 猜想，并作为推论建立了博赫勒的猜想（关于度数为二的 Siegel 品触形式）。

ABSTRACT

In this paper we pursue the refined global Gross-Prasad conjecture for Bessel periods formulated by Yifeng Liu in the case of special Bessel periods for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$. Recall that a Bessel period for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is called special when the representation of $\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is trivial. Let $π$ be an irreducible cuspidal tempered automorphic representation of a special orthogonal group of an odd dimensional quadratic space over a totally real number field $F$ whose local component $π_v$ at any archimedean place $v$ of $F$ is a discrete series representation. Let $E$ be a quadratic extension of $F$ and suppose that the special Bessel period corresponding to $E$ does not vanish identically on $π$. Then we prove the Ichino-Ikeda type explicit formula conjectured by Liu for the central value $L\left(1/2,π ight)L\left(1/2,π imesχ_E ight)$, where $χ_E$ denotes the quadratic character corresponding to $E$. Our result yields a proof of Boecherer's conecture on holomorphic Siegel cusp forms of degree two which are Hecke eigenforms.

研究动机与目标

• 在杨峰刘所猜想的基础上，建立关于 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ 的特殊贝塞尔周期的中心值 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ 的显式公式。
• 将精细 Gross-Prasad 猜想推广至 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ 的特殊贝塞尔周期情形，其中 $ \mathrm{SO}(2) $-表示是平凡的。
• 证明关于度数为二的全纯 Siegel 品触形式（且为 Hecke 特征形式）的自守 $ L $-函数的中心临界值的博赫勒猜想。
• 在温和性与离散系列条件下，建立中心 $ L $-值非零当且仅当特殊贝塞尔周期不恒为零的条件。

提出的方法

• 利用全局 theta 对应和下降方法，将 $ \mathrm{SO}(2n+1) $ 上的自守表示与 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}_n $ 上的通用表示联系起来。
• 应用局部 Langlands 对应和 $ L $-参数理论，比较自守表示的局部分量。
• 利用 Howe 对偶性和温和 $ L $-包中通用元素的唯一性，从 $ \theta(\pi_v, \psi_v) $ 的通用性推导出局部同构 $ \pi_v \simeq \pi'_v $。
• 利用贝塞尔周期的非零性，通过全局下降和弱提升至 $ \mathrm{GL}_{2n} $ 推导出中心 $ L $-值的非零性。
• 应用 Dickson、Pitale、Saha 和 Schmidt 的工作，将结果与度数为二的 Siegel 模形式联系起来。
• 依赖于 Arthur [3] 中的猜想 9.5.4 在 $ \mathcal{G}_n $ 中的群上成立，以确保弱提升和 $ \pi $ 的重数一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ 的特殊贝塞尔周期情形下，中心 $ L $-值 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ 的 Ichino-Ikeda 型公式是否成立？
• RQ2 在 $ \pi $ 为温和且其阿代尔分量为离散系列的假设下，能否证明特殊贝塞尔周期的精细全局 Gross-Prasad 猜想？
• RQ3 特殊贝塞尔周期的非零性是否蕴含中心 $ L $-值 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ 的非零性？
• RQ4 能否从本结果推导出关于度数为二的 Siegel 品触形式的自守 $ L $-函数的中心临界值的博赫勒猜想？
• RQ5 在何种条件下，全局 theta 提升 $ \theta(\pi, \psi) $ 为 $ \psi_\lambda $-通用，能推出 $ \pi $ 具有类型 $ E $ 的特殊贝塞尔模型？

主要发现

• 本文在 $ \pi $ 为温和且其阿代尔分量为离散系列的假设下，证明了关于 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ 的特殊贝塞尔周期的 Ichino-Ikeda 型公式，用于表达 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $。
• 证明了特殊贝塞尔周期的非零性蕴含中心 $ L $-值 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ 的非零性，从而在此情况下证实了精细 Gross-Prasad 猜想。
• 在 Arthur 关于弱提升的猜想成立的假设下，证明了若贝塞尔周期恒为零，则中心 $ L $-值也必须为零。
• 作者由此推导出关于全纯 Siegel 品触形式（且为 Hecke 特征形式）的自守 $ L $-函数的中心临界值的博赫勒猜想的证明。
• 该结果依赖于全局下降方法和 theta 对应，以构造一个几乎等价的通用自守表示 $ \pi^\circ $，从而可应用关于 $ L $-值的已知结果。
• 通过利用局部 $ L $-参数和温和 $ L $-包中通用表示的唯一性，证明了在所有位置 $ v $ 上均有 $ \pi_v \simeq \pi'_v $，从而在全球范围内有 $ \pi \simeq \pi' $。