[论文解读] On the local Langlands correspondence for quasi-split even orthogonal groups

Hiraku Atobe, Wee Teck Gan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文为拟分裂的偶数正交群 $\mathrm{O}_{2n}$ 建立了精确的局部 Langlands 对应，基于 Arthur 对其表示的分类。它证明了完整的 Prasad 猜想，并利用 $\mathrm{O}_{2n}$ 的 LLC 将 Gross–Prasad 猜想推广至正交群，关键结果源自 Arthur 乘法公式与 $L$-包结构。

ABSTRACT

In this paper, we highlight and state precisely the local Langlands correspondence for quasi-split O_{2n} established by Arthur. We give two applications: Prasad's conjecture and Gross--Prasad conjecture for O_{n}. Also, we discuss the Arthur conjecture for O_{2n}, and establish the Arthur multiplicity formula for O_{2n}.

研究动机与目标

• 陈述并突出显示拟分裂 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 的精确局部 Langlands 对应，该对应在 Arthur 的工作中隐含但未被充分强调。
• 利用 $\mathrm{O}_{2n}$ 的完整 LLC，完成关于对偶对 $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 和 $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n-2}$ 的局部 theta 对应的 Prasad 猜想。
• 通过利用 theta 对应和精化的 LLC，将 Gross–Prasad 猜想推广至正交群 $\mathrm{O}_n$，建立 $\mathrm{O}_n$ 的局部 GP 猜想的 Fourier–Jacobi 情形。
• 制定并证明 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 的 Arthur 乘法公式，完成这些群的自守谱的完整描述。
• 为 $\mathrm{O}_{2n}$ 的纯内形式定义并利用 Vogan $L$-包，将 LLC 推广至非拟分裂情形。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{GL}_N$ 上的扭曲内表表示转移，结合扭曲迹公式的稳定化，对 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 的不可约表示进行 Arthur 分类。
• 将 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 的 $L$-参数定义为 Weil–Deligne 群 $\mathrm{WD}_F$ 的正交表示，以 $\mathrm{O}_{2n}(\mathbb{C})$ 作为 $L$-群。
• 将局部交错关系（假设 3.10）确立为关键技术工具，对提升表示和验证 $L$-包结构至关重要。
• 将 Arthur 乘法公式应用于 $\mathrm{SO}_{2n}$，并通过分析表示及其 $\epsilon$-扭曲模，将其扩展至 $\mathrm{O}_{2n}$。
• 利用 $\mathcal{H}(G)$-模与 $\epsilon$-型理论，分析自守离散谱 $\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ 中的重数。
• 证明：对于满足 $\iota_c(\sigma) \circ \Delta = \varepsilon_\Sigma$ 的不可约 $\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})$-模 $\sigma$，有 $m(\sigma) = 1$，利用限制映射的单射性与同态空间的维数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Arthur 分类的基础上，拟分裂偶数正交群 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 的精确局部 Langlands 对应的完整表述是什么？
• RQ2 如何利用 $\mathrm{O}_{2n}$ 的精化 LLC 证明关于局部 theta 对应的完整 Prasad 猜想？
• RQ3 能否通过局部 GP 猜想的 Fourier–Jacobi 情形，利用 theta 对应和精化的 LLC，将 Gross–Prasad 猜想推广至正交群 $\mathrm{O}_n$？
• RQ4 自守离散谱 $\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ 的结构是什么？Arthur 乘法公式如何适用？
• RQ5 Vogan $L$-包与局部交错关系如何支配 $\mathrm{O}_{2n}$ 的纯内形式的表示理论？

主要发现

• 本文为 $\mathrm{O}_{2n}(F)$ 建立了完整的局部 Langlands 对应，其中 $L$-参数被定义为取值于 $\mathrm{O}_{2n}(\mathbb{C})$ 的 $\mathrm{WD}_F$ 的正交表示。
• 完整 Prasad 猜想已得证：$\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 与 $\mathrm{O}_{2n} \times \mathrm{Sp}_{2n-2}$ 的局部 theta 对应被 $\mathrm{O}_{2n}$ 的 LLC 完全描述。
• Gross–Prasad 猜想的 Fourier–Jacobi 情形已推广至 $\mathrm{O}_n$，为正交群建立了 GP 猜想的一个版本。
• 已确立 $\mathrm{O}_{2n}$ 的 Arthur 乘法公式，表明自守离散谱 $\mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n})$ 中不可约表示 $\sigma$ 的重数 $m(\sigma)$ 等于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})}(\sigma, \mathcal{A}_2(\mathrm{O}_{2n}))$ 的维数。
• 证明了对于满足 $\iota_c(\sigma) \circ \Delta = \varepsilon_\Sigma$ 的不可约 $\mathcal{H}(\mathrm{O}_{2n})$-模 $\sigma$，有 $m(\sigma) = 1$，其依据为同态空间的单射性与维数界。
• 局部交错关系（假设 3.10）被确认为关键机制，支持了 $L$-包的构造，并验证了自守谱中的重数一性质。