[论文解读] Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通過基於線路的圖形形式化方法，重新詮釋了 Carboni 和 Walters 的雙分類關係理論，引入『關係偏序類別』（relational po-categories）作為正則類別中關係雙分類的直接公理化。該文建立了正則類別與關係偏序類別之間的 2-類別等價，表明關係偏序類別中左伴隨的類別可恢復原始的正則類別，且證明過程透過線條圖與超圖類別結構得到簡化。

ABSTRACT

Regular logic is the fragment of first order logic generated by $=$, $ op$, $\wedge$, and $\exists$. A key feature of this logic is that it is the minimal fragment required to express composition of binary relations; another is that it is the internal logic of regular categories. The link between these two facts is that in any regular category, one may construct a notion of binary relation using jointly-monic spans; this results in what is known as the bicategory of relations of the regular category. In this paper we provide a direct axiomatization of bicategories of relations, which we term relational po-categories, reinterpreting the earlier work of Carboni and Walters along these lines. Our main contribution is an explicit proof that the 2-category of regular categories is equivalent to that of relational po-categories. Throughout, we emphasize the graphical nature of relational po-categories.

研究动机与目标

• 提供正則類別中雙分類關係的直接、公理化特徵描述，避免依賴先前的類 allegory 或雙分類關係框架。
• 引入『關係偏序類別』作為捕捉正則邏輯與關係之邏輯與類別本質的最小結構。
• 建立正則類別與關係偏序類別之間的 2-類別等價，並透過左伴隨恢復完整資料。
• 使用基於圖形的線路形式化語法，重新表述 Carboni 和 Walters 的經典結果，其基礎為超圖類別。
• 透過類似網絡的圖形形式化，明確正則邏輯的邏輯與類別基礎。

提出的方法

• 將關係偏序類別公理化為具備線路供應的張量偏序類別（即從有限集的餘楔雙分類的對蹠函子出發的張量函子），以模擬邏輯運算。
• 使用線條圖表示態射及其複合，將對角線與複製映射視為『線路』，以支援圖形化推理。
• 定義『預關係偏序類別』為張量偏序類別，其中所導出的余半群結構為弱同態，從而可方程表達邏輯性質。
• 引入『表格化』（tabulations）作為關鍵結構：若一態射可分解為右伴隨後接左伴隨，且滿足共同單射性，則其可表格化。
• 利用超圖類別結構簡化證明，特別是同態集中的模組律與下確界半格性質。
• 使用圖形演算直接從態射的弱余半群同態性質推導模組律，避免代數運算。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能不依賴 allegory 或雙分類關係框架，直接公理化正則類別的關係雙分類？
• RQ2 何種最小類別結構能完整捕捉正則邏輯的邏輯內容，包括等式、合取與存在量詞？
• RQ3 如何使用圖形化推理更直觀地證明正則類別與其關係雙分類之間的等價性？
• RQ4 是否能使用基於線路的圖形語法，重新推導 Carboni 和 Walters 的經典結果，並強調組合性與模塊性？
• RQ5 關係偏序類別、單位表格 allegory 與正則類別之間的精確關係為何？

主要发现

• 正則類別的 2-類別與關係偏序類別的 2-類別透過函子等價：一者將正則類別映射至其關係雙分類，另一者則透過左伴隨的類別反向恢復。
• 每個關係偏序類別皆可視為其左伴隨類別的關係雙分類，從而實現完整資料恢復。
• 關係雙分類的構造不遺漏任何資料：原始正則類別可完全透過左伴隨從其關係中重建。
• 在預關係偏序類別中，模組律可直接由態射的弱余半群同態性質導出，並有清晰的圖形化證明。
• 預關係偏序類別中同態集為下確界半格，其下確界由兩條態射並行『線路化』的圖形形式給出。
• 關係偏序類別恰好是單位表格 allegory，確立本研究與 Freyd 的 allegory 框架之間的直接連結。