[论文解读] Regular Poisson manifolds of compact types (PMCT 2)

Marius Crainic, Rui Loja Fernandes+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 61被引用 13

一句话总结

本文证明了正则紧致型泊松流形（PMCTs）的叶空间是具有丰富几何结构的积分仿射轨道簇，包括叶上辛上同调类的线性变化及Weyl型积分公式。本文引入辛扭量作为将PMCTs实现为辛完备余切纤维丛基的障碍，统一了经典结果（如Duistermaat-Heckman定理）于PMCT框架之下。

ABSTRACT

This is the second paper of a series dedicated to the study of Poisson structures of compact types (PMCTs). In this paper, we focus on regular PMCTs, exhibiting a rich transverse geometry. We show that their leaf spaces are integral affine orbifolds. We prove that the cohomology class of the leafwise symplectic form varies linearly and that there is a distinguished polynomial function describing the leafwise sympletic volume. The leaf space of a PMCT carries a natural Duistermaat-Heckman measure and a Weyl type integration formula holds. We introduce the notion of a symplectic gerbe, and we show that they obstruct realizing PMCTs as the base of a symplectic complete isotropic fibration (a.k.a. a non-commutative integrable system).

研究动机与目标

• 理解正则紧致型泊松流形（PMCTs）的横截几何，特别是其叶空间结构。
• 证明正则PMCT的叶空间即使在非有效情形下仍为积分仿射轨道簇。
• 表明叶上辛形式的上同调类在叶空间上呈线性变化，推广Duistermaat-Heckman定理。
• 引入并表征轨道簇上的辛扭量，作为将PMCTs实现为辛完备余切纤维丛基的障碍。
• 在PMCT框架内统一经典结果，如Weyl积分公式与Atiyah-Guillemin-Sternberg凸性定理。

提出的方法

• 作者利用泊松流形的s-连通、恰当辛积分化来分析叶空间及其几何结构。
• 通过线性Holonomy覆盖的商构造叶空间，利用恰当群胚作用证明其为良好轨道簇。
• 叶空间上的积分仿射结构源于叶状覆盖的横截几何，并在Holonomy与线性化下保持不变。
• 上同调中辛类的线性变化源于线性Holonomy群胚的作用及辛积分化的结构。
• 通过分析轨道簇叶空间上的Duistermaat-Heckman测度，建立Weyl型积分公式。
• 将辛扭量引入为叶空间上辛环丛的中心扩张，其分类由拉格朗日Dixmier-Douady类决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则PMCT的叶空间如何携带积分仿射轨道簇结构？其良性的条件是什么？
• RQ2 叶上辛形式的上同调类如何在叶空间上变化？其如何推广Duistermaat-Heckman定理？
• RQ3 辛扭量在阻碍PMCTs作为辛完备余切纤维丛基的恰当余切实现中起何作用？
• RQ4 经典结果如Weyl积分公式与Atiyah-Guillemin-Sternberg凸性如何作为PMCT结构的一般情形的特例出现？
• RQ5 每个经典积分仿射轨道簇是否都能作为具有横截积分仿射结构的恰当型叶状覆盖的叶空间实现？

主要发现

• 正则PMCT的叶空间是积分仿射轨道簇，当辛叶为1-连通时，其为光滑积分仿射流形。
• 叶上辛形式的上同调类在叶空间上线性变化，推广了经典Duistermaat-Heckman定理。
• 在叶空间上存在Weyl型积分公式，Duistermaat-Heckman测度是其关键成分。
• 叶空间上的辛扭量由拉格朗日Dixmier-Douady类分类，其消失等价于存在恰当余切实现。
• 叶空间是良好轨道簇，即存在由光滑积分仿射流形构成的有限Galois覆盖，此结论通过线性Holonomy覆盖构造得以证明。
• 每个经典积分仿射轨道簇均可作为具有横截积分仿射结构的恰当型叶状覆盖的叶空间实现，从而确认其良性的成立。