[论文解读] Regularity of plurisubharmonic upper envelopes in big cohomology classes

Robert J. Berman, Jean-Pierre Demailly|ArXiv.org|May 8, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文在福崎类 𝒞 的紧致复流形上建立了大上同调类中多重次调和上包络的正则性。通过使用参数化的Legendre-Kiselman变换和Ohsawa-Takegoshi型 $L^2$ 延拓，证明了包络的复Hessian在奇异解析集外是局部有界的，且通过参考函数的指数与多项式有界性，精确控制了其爆破速率。

ABSTRACT

The goal of this work is to prove the regularity of certain quasi-plurisubharmonic upper envelopes. Such envelopes appear in a natural way in the construction of hermitian metrics with minimal singularities on a big line bundle over a compact complex manifold. We prove that the complex Hessian forms of these envelopes are locally bounded outside an analytic set of singularities. It is furthermore shown that a parametrized version of this result yields a priori inequalities for the solution of the Dirichlet problem for a degenerate Monge-Ampere operator; applications to geodesics in the space of Kahler metrics are discussed. A similar technique provides a logarithmic modulus of continuity for Tsuji's "supercanonical" metrics, which generalize a well-known construction of Narasimhan-Simha.

研究动机与目标

• 在紧致复流形上建立大上同调类中拟多重次调和上包络的正则性。
• 分析包络函数的奇点，并确定其复Hessian在奇异集附近爆破的精确速率。
• 将理论推广至大线丛上具有最小奇点的度量，特别是在非代数设定下。
• 通过参数化包络构造，推导退化Monge-Ampère Dirichlet问题解的先验估计。
• 通过证明其奇点具有对数模连续性，推广Tsuji的超共形度量。

提出的方法

• 对于大上同调类 $\{\alpha\}$，构造上包络 $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{ 是 } \alpha\text{-psh}\}$。
• 使用具有解析奇点的参考函数 $\psi_0$，使得 $T_0 = \alpha + dd^c\psi_0 \geq \varepsilon_0 \omega$。
• 对参数为 $m$ 的 $\alpha$-psh 函数族应用Legendre-Kiselman变换，得到代数逼近 $\varphi^\mathrm{alg}_m$。
• 在 $X \setminus Z_0$ 上建立 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ 一致收敛于典范包络 $\varphi_\mathrm{can}$。
• 利用 $L^2$ 延拓定理（Ohsawa-Takegoshi）控制截面的增长，并推导Hessian的 $L^p$ 估计。
• 导出不等式 $|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$，量化了在 $Z_0$ 附近二阶导数的爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致复流形的大上同调类中，多重次调和上包络的精确正则性是什么？
• RQ2 包络在奇异集 $Z_0 = \psi_0^{-1}(-\infty)$ 附近的复Hessian导数行为如何？
• RQ3 能否证明大线丛上具有最小奇点的度量在奇异解析集外具有受控的二阶正则性？
• RQ4 通过参数化包络，能否为退化Monge-Ampère Dirichlet问题的解导出先验估计？
• RQ5 Tsuji的超共形度量是否具有对数模连续性，其与典范包络的关系如何？

主要发现

• 对于任意 $\delta > 0$，上包络 $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{ 是 } \alpha\text{-psh}\}$ 在 $X \setminus Z_0$ 上是 $C^{1,1-\delta}$。
• 复Hessian $dd^c\varphi$ 在 $X \setminus Z_0$ 上是局部有界的，且满足不等式 $|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$，其中 $C, B > 0$。
• $X \setminus Z_0$ 上的二阶导数 $D^2\varphi$ 属于 $L^p_{\rm loc}(X \setminus Z_0)$，对所有 $p > 0$ 成立。
• 包络 $\varphi_\mathrm{can}$ 在 $X \setminus Z_0$ 上连续，且代数逼近序列 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ 在 $X \setminus Z_0$ 的紧子集上一致收敛于它。
• 对于大线丛上的典范度量 $h_{\min} = h_L e^{-\varphi}$，$\varphi$ 在 $Z_0$ 外的正则性由参考度量 $h_0 = h_L e^{-\psi_0}$ 的奇点控制。
• 该结果可推广至 $L^p$-约束包络，并为Tsuji的超共形度量导出对数模连续性，推广了Narasimhan-Simha的构造。