[论文解读] Regularity vs. constructive complete (co)distributivity

Hongliang Lai, Lili Shen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文在小量值范畴 Q 上建立了正则 Q-分布器与构造性完全分配（ccd）Q-范畴之间的范畴等价，证明了 Q-分布器 ϕ 的正则性当且仅当 Q 是 Girard 量值范畴时，Kϕ 为（ccd）。核心贡献是将经典正则关系与完全分配格之间的关系推广至丰富范畴理论，提供了一种避免选择公理的新证明方法，用于定理 1.1。

ABSTRACT

It is well known that a relation $φ$ between sets is regular if, and only if, $\mathcal{K}φ$ is completely distributive (cd), where $\mathcal{K}φ$ is the complete lattice consisting of fixed points of the Kan adjunction induced by $φ$. For a small quantaloid $\mathcal{Q}$, we investigate the $\mathcal{Q}$-enriched version of this classical result, i.e., the regularity of $\mathcal{Q}$-distributors versus the constructive complete distributivity (ccd) of $\mathcal{Q}$-categories, and prove that "the dual of $\mathcal{K}φ$ is (ccd) $\implies$ $φ$ is regular $\implies$ $\mathcal{K}φ$ is (ccd)" for any $\mathcal{Q}$-distributor $φ$. Although the converse implications do not hold in general, in the case that $\mathcal{Q}$ is a commutative integral quantale, we show that these three statements are equivalent for any $φ$ if, and only if, $\mathcal{Q}$ is a Girard quantale.

研究动机与目标

• 将经典定理中正则关系与完全分配格之间的联系扩展至 Q-范畴与 Q-分布器的丰富设定。
• 研究 Q-分布器 ϕ 的正则性是否等价于其关联 Q-范畴 Kϕ 的构造性完全分配性（ccd）。
• 确定 ϕ 的正则性与 Kϕ 的（ccd）之间等价关系成立的条件，特别是针对交换积分量值范畴的情形。
• 通过提供 Q = 2 情形下的构造性证明，澄清选择公理在经典等价关系中的作用。
• 确定 Q 的必要与充分条件，使得对所有 Q-分布器，正则性与（ccd）之间等价关系成立。

提出的方法

• 将 Kϕ 定义为由 Q-分布器 ϕ: A → B 诱导的 Kan 伴随关系的不动点所构成的完全 Q-范畴。
• 利用 Q-丰富 Yoneda 嵌入 Y: A → PA 与上确界映射 sup: PA → A，通过一系列伴随关系 T ⊣ sup ⊣ Y 来定义（ccd）Q-范畴。
• 利用 Q-范畴中 Kan 伴随关系与不动点的性质，证明若 ϕ 是正则的，则 Kϕ 是（ccd）。
• 证明若 Kϕ 是 op(ccd)，则 ϕ 是正则的，建立一个技术上具有挑战性且论文核心的对偶蕴含关系。
• 通过对偶性与对偶元素的存在性，将 Girard 量值范畴表征为使得（ccd）与 op(ccd) 成为等价概念的量值范畴。
• 将该理论应用于交换积分量值范畴，证明 ϕ 的正则性与 Kϕ 的（ccd）之间等价关系成立当且仅当该量值范畴是 Girard 量值范畴，其中使用最小元作为对偶元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意小量值范畴 Q，Q-分布器 ϕ 的正则性是否等价于其 Q-范畴 Kϕ 的构造性完全分配性（ccd）？
• RQ2 在何种 Q 的条件下，ϕ 的正则性与 Kϕ 的（ccd）之间等价关系成立？
• RQ3 从 Kϕ 是 op(ccd) 推出 ϕ 是正则的这一蕴含关系是否普遍成立？若不成立，则需满足何种条件？
• RQ4 对于交换积分量值范畴，ϕ 的正则性与 Kϕ 的（ccd）之间等价关系成立的必要与充分条件是什么？
• RQ5 经典结果中正则关系与完全分配格之间的联系能否在不依赖选择公理的情况下构造性地证明？

主要发现

• 对于任意小量值范畴 Q，若 ϕ 是正则 Q-分布器，则 Kϕ 是（ccd），从而确立了蕴含关系 ϕ 正则 ⇒ Kϕ （ccd）。
• 对于任意小量值范畴 Q，若 Kϕ 是 op(ccd)，则 ϕ 是正则的，从而确立了对偶蕴含关系 Kϕ op(ccd) ⇒ ϕ 正则。
• 当 Q 是 Girard 量值范畴时，对任意 Q-分布器 ϕ，三个陈述 ϕ 正则、Kϕ （ccd）与 Kϕ op(ccd）全部等价。
• 在 Q = 2（二元量值范畴）的情形下，经典结果 Zarecki˘ı 与 Xu–Liu 作为特例被重新获得，且提供了不依赖选择公理的新证明。
• 对于交换积分量值范畴 Q，ϕ 的正则性与 Kϕ 的（ccd）之间等价关系对所有 ϕ 成立，当且仅当 Q 是 Girard 量值范畴。
• 交换积分量值范畴 Q 的最小元 ⊥ 是对偶元素，当且仅当 Q 是 Girard 量值范畴，这刻画了量值范畴情形下的等价关系。