[论文解读] Relative Ding and $K$-stability of toric Fano manifolds in low dimensions

Yasufumi Nitta, Shunsuke Saito+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文利用通过多面体的组合数据计算出的Mabuchi常数，对三维和四维的均匀相对Ding稳定的toric Fano流形进行了分类。它识别出18个三维流形中的12个，提供了四维情形下所有稳定/不稳定情况的完整列表，通过显式反例（$M_X > 1$）证明了相对$K$-稳定性与相对Ding稳定性是不同的概念。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to clarify all of the uniformly relatively Ding stable toric Fano threefolds and fourfolds as well as unstable ones. The key player in our classification result is the Mabuchi constants, which can be calculated by combinatorial data of the associated moment polytopes due to the work of Yao [33]. In Tables 1-3, we give the list of uniform relative Ding stability of all toric Fano manifolds in dimension up to four with the values of the Mabuchi constants. As an application of our main theorem (Theorem 1.1), we clarify the difference between relative $K$-stability and relative Ding stability by considering some specific toric Fano manifolds (Corollaries 1.6 and 1.9). In the proof of Corollary 1.9, we used Bott tower structure of relatively Ding unstable toric Fano manifolds.

研究动机与目标

• 对三维和四维中所有均匀相对Ding稳定的toric Fano流形进行分类。
• 利用多面体的组合数据，计算每个toric Fano流形的Mabuchi常数$M_X$。
• 澄清在toric Fano情形下，相对$K$-稳定性与相对Ding稳定性的区别。
• 通过Bott塔结构提供显式反例，说明相对$K$-稳定但相对Ding不稳定的情形，从而证明两者不等价。

提出的方法

• 通过多面体$P$上的积分，利用公式$\theta_P = \sum_{i,j} c_{ij}^{-1} b_i b_j$，计算Mabuchi常数$M_X = \max_P \theta_P$。
• 利用Yao的结果：对于toric Fano流形，$M_X < 1$等价于均匀相对Ding稳定性。
• 应用非阿基米德泛函框架：均匀相对Ding稳定性通过所有$T$-等变测试配置满足不等式$D_v^{NA} \geq \delta J_T^{NA}$来定义。
• 利用Delcroix和Li-Li的对应关系：$T$-等变测试配置与多面体上的有理分段仿射凸函数一一对应。
• 对多面体直接进行数值计算，求解$b_k = \int_P x_k \, dx$和$c_{ij} = \int_P x_i x_j \, dx$，以评估$\theta_P$。
• 利用Bott塔结构构造出相对Ding不稳定但相对$K$-稳定的toric Fano流形的显式例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些toric Fano三维和四维流形是均匀相对Ding稳定的？
• RQ2 每个三维和四维toric Fano流形的Mabuchi常数$M_X$的确切值是多少？
• RQ3 在toric Fano情形下，相对$K$-稳定性与相对Ding稳定性是否可以被区分开？
• RQ4 Bott塔结构在构造具有相对$K$-稳定但无相对Ding稳定性的例子中起到什么作用？
• RQ5 多面体的组合不变量如何决定toric Fano流形的稳定性类型？

主要发现

• 在三维情形下，18个toric Fano流形中有12个是均匀相对Ding稳定的，且满足$M_X < 1$。
• 在四维情形下，本文提供了全部124个toric Fano流形的完整列表及其$M_X$值，明确标识出哪些是均匀相对Ding稳定的。
• 对于toric Fano流形A.3.123（$Z_2$），$M_X = \frac{3418840588}{2592694163} > 1$，证明其为相对Ding不稳定。
• 对于toric Fano流形A.3.124（$W$），$M_X = 0 < 1$，确认其为均匀相对Ding稳定。
• 推论1.9构造了一个Bott塔结构的toric Fano流形，其$M_X > 1$，但相对$K$-稳定而相对Ding不稳定，表明这两个概念不等价。
• Mabuchi常数$M_X$与Kähler度量无关，可完全由多面体的组合数据计算得出，如Yao [33]所建立。