[论文解读] Representative functions on discrete groupoids and duality with Hopf algebroids

Laiachi El Kaoutit|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过两个反变函子建立了离散群胚与几何上本征的交换霍普夫超代数之间的对偶性：一个将每个霍普夫超代数映射为其特征群胚，另一个将每个离散群胚映射为其代表函数的霍普夫超代数。其主要贡献是将经典离散群与交换霍普夫代数之间的对偶性推广到群胚范畴，扩展了坦纳卡-克雷因对偶性原理。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish a duality between the category of discrete groupoids and the category of geometrically transitive commutative Hopf algebroids in the sense of P. Deligne and A. Bruguières. In one direction we have the usual contravariant functor which assigns to each Hopf algebroid its characters groupoid (the fiber groupoid at the ground field). In the other direction we construct the contravariant functor which associated to each discrete groupoid its Hopf algebroid of representative functions. This duality extends the well known duality between discrete groups and commutative Hopf algebras, and also sheds light on a new approach to Tannaka-Krein duality for compact topological groupoids. Our results are supported by several illustrative examples including topological ones.

研究动机与目标

• 将离散群与交换霍普夫代数之间的经典对偶性推广到群胚范畴。
• 通过代表函数定义从离散群胚到交换霍普夫超代数的反变函子。
• 在离散群胚范畴与几何上本征的交换霍普夫超代数范畴之间建立对偶性。
• 为理解拓扑群胚背景下的坦纳卡-克雷因对偶性提供新框架。
• 将代表函数在李群与紧致群中的作用推广到离散群胚。

提出的方法

• 构建一个反变函子，将每个离散群胚映射为其在域 $\Bbbk$ 上的代表函数霍普夫超代数。
• 利用基域处的纤维群胚，定义从霍普夫超代数到离散群胚的特征群胚函子。
• 应用坦纳卡ian范畴与张量范畴的理论，定义几何上本征的交换霍普夫超代数范畴中的普遍对象。
• 采用构造 $\mathscr{L}_{\Bbbk}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$ 作为与纤维函子相关联的普遍霍普夫超代数。
• 依赖于德利涅与布鲁吉耶弗关于坦纳卡ian范畴及具有足够幂等元的霍普夫超代数结构的结果。
• 利用具有纤维函子的坦纳卡ian范畴范畴 $\mathsf{Tanna}_{\Bbbk}$ 来定义从 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ 到 $\mathsf{GTCHAlgd}_{\Bbb{k}}$ 的函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散群与交换霍普夫代数之间的对偶性能否推广到离散群胚与交换霍普夫超代数之间？
• RQ2 如何利用离散群胚上的代表函数构造霍普夫超代数结构？
• RQ3 特征群胚在霍普夫超代数与离散群胚之间的对偶性中起什么作用？
• RQ4 这种对偶性与紧致拓扑群胚的坦纳卡-克雷因对偶性有何关联？
• RQ5 构成群胚上代表函数的代数与范畴结构是什么？

主要发现

• 本文通过函子 $\mathscr{R}_{\Bbbk}$ 与 $\chi_{\Bbb{k}}$ 建立了离散群胚范畴与几何上本征的交换霍普夫超代数范畴之间的反变对偶性。
• 离散群胚上的代表函数霍普夫超代数被构造为 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$，并形成一个到几何上本征的交换霍普夫超代数范畴的良定义协变函子。
• 该对偶性推广了经典离散群与交换霍普夫代数之间的对偶性，将其扩展至群胚范畴。
• 证明了 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ 的构造是一个双范畴的严格同态，丰富了范畴论框架。
• 具有紧致豪斯多夫基空间的拓扑群胚上的连续代表函数代数，作为坦纳卡ian对象在广义函子 $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}$ 下的像而出现。
• 若关联的双模 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是投射的，则霍普夫超代数 $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}(\omega)$ 作为 $(A \otimes_{\Bbb{k}} A)$-模是投射的。