[论文解读] Restrictions of representations of classical groups: examples

Wee Teck Gan, Benedict H. Gross+1 more|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 44被引用 38

一句话总结

本文为经典群（特别是酉群）表示的限制的Gan-Gross-Prasad猜想提供了证据，通过在低秩情形及深度为零的超临界表示中验证了猜想的分支法则。该文利用局部ε因子和根数，证明了在全局情形下，不变线性形式的存在性精确对应于中心L-值的零或非零以及ε因子的匹配，从而确立了该猜想。

ABSTRACT

In an earlier paper, we considered several restriction problems in the representation theory of classical groups over local and global fields. Assuming the Langlands-Vogan parameterization of irreducible representations, we formulated precise conjectures for the solutions of these restriction problems. In the local case, our conjectural answer is given in terms of Langlands parameters and certain natural symplectic root numbers associated to them. In the global case, the conjectural answer is expressed in terms of the central critical value or derivative of a global $L$-function. In this paper we verify several of these conjectures in certain low rank cases, using methods of base change, theta correspondence, and global arguments.

研究动机与目标

• 为经典群（特别是酉群）表示限制的全局与局部Gan-Gross-Prasad猜想提供证据。
• 在特定低秩情形（包括U(1)×U(1)、U(1)×U(2)、U(2)×U(2)和U(2)×U(3)）中验证[GGP]的猜想16.3。
• 在酉情形下建立不变线性形式存在性与全局L-函数值或局部ε因子之间的对应关系。
• 通过辛根数与离散系列参数，将Langlands-Vogan参数化框架扩展至酉情形。

提出的方法

• 本文利用与Langlands参数相关的局部ε因子和根数，定义了在成分群A_M × A_N上的特征χ，该特征确定了分支法则。
• 通过Tate公式计算一维表示的ε因子，并根据共轭辛特征中半整数指数的符号来表征其符号。
• 在全局情形下，应用Ginzburg-Jiang-Rallis定理，将周期积分的非零性与中心L-值的非零性联系起来。
• 证明了全局ε因子ε(1/2, Π₀ᴱ ⊗ Π₁ᴱ) = 1当且仅当周期积分为非零，从而将全局与局部不变量联系起来。
• 利用紧致酉群U(n+1)与U(n)的分支法则，推导出最高权及其相关ε因子的排序条件。
• 证明了全局根数为局部因子的乘积，并利用无穷远位置数的奇偶性来确定全局ε因子的符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个酉表示的限制中，若存在不变线性形式，是否意味着在中心临界点的全局ε因子为1？
• RQ2 对于深度为零的超临界L-包，分支法则是否通过辛根数与Gan-Gross-Prasad猜想的预测一致？
• RQ3 在紧致酉群情形下，表示的最高权满足何种精确条件时，存在U(n)-不变线性形式？
• RQ4 在复情形下，特征的张量积的局部ε因子如何与相关半整数指数的符号相关？
• RQ5 全局周期积分的非零性能否通过中心L-值的零与全局ε因子的特征来刻画？

主要发现

• 本文在酉群情形U(1)×U(1)、U(1)×U(2)、U(2)×U(2)和U(2)×U(3)中确认了[GGP]的猜想16.3，通过ε因子确立了分支法则。
• 在复情形且k₀ = ℝ时，通过Tate公式与特征扭变计算得，ε(α, ψ₀) = +1当半整数指数a > 0，且ε(α, ψ₀) = −1当a < 0。
• 在紧致酉群情形下，当n ≡ 0或3 mod 4时，ε因子ε(σ₀ ⊗ σ₁) = +1；当n ≡ 1或2 mod 4时，ε因子ε(σ₀ ⊗ σ₁) = −1，该结果基于最高权的排序。
• 全局根数满足：ε(1/2, Π₀ᴱ ⊗ Π₁ᴱ) = 1当且仅当周期积分∫_{U(W)\U(W)(𝔸)} f₀f₁ ≠ 0，从而将全局L-函数的非零性与不变形式联系起来。
• 所有位置（包括实位）的局部ε因子乘积与全局ε因子一致，其符号取决于无穷远位置数的奇偶性。
• Hom_{U(n)}(π₁ ⊗ π₀, ℂ) ≠ 0的条件等价于最高权的交错排列：μ₁ < λ₁ < μ₂ < λ₂ < ⋯ < λₙ < μₙ₊₁。