[论文解读] Reversible quantum cellular automata

Benjamin Schumacher, Reinhard F. Werner|ArXiv.org|May 28, 2004

Cellular Automata and Applications参考文献 24被引用 105

一句话总结

本文提出了一套严格的框架，用于研究具有有限传播速度和平移不变性的无限格点上的可逆量子细胞自动机（QCA）。该框架证明所有此类QCA均可通过广义Margolus分块方案实现结构可逆性，确保最近邻QCA的逆也是最近邻自动机，并提供了多种构造方法，包括利用酉对称性、经典可逆自动机、量子线路以及Clifford变换。

ABSTRACT

We define quantum cellular automata as infinite quantum lattice systems with discrete time dynamics, such that the time step commutes with lattice translations and has strictly finite propagation speed. In contrast to earlier definitions this allows us to give an explicit characterization of all local rules generating such automata. The same local rules also generate the global time step for automata with periodic boundary conditions. Our main structure theorem asserts that any quantum cellular automaton is structurally reversible, i.e., that it can be obtained by applying two blockwise unitary operations in a generalized Margolus partitioning scheme. This implies that, in contrast to the classical case, the inverse of a nearest neighbor quantum cellular automaton is again a nearest neighbor automaton. We present several construction methods for quantum cellular automata, based on unitaries commuting with their translates, on the quantization of (arbitrary) reversible classical cellular automata, on quantum circuits, and on Clifford transformations with respect to a description of the single cells by finite Weyl systems. Moreover, we indicate how quantum random walks can be considered as special cases of cellular automata, namely by restricting a quantum lattice gas automaton with local particle number conservation to the single particle sector.

研究动机与目标

• 为解决先前量子细胞自动机定义中的基础性缺陷，特别是无限系统中全局酉操作定义不清的问题。
• 基于可观测量代数与海森堡图像，建立一个数学上严谨的QCA框架，避免在无限系统中出现态矢量的歧义。
• 表征所有生成具有有限传播速度和平移不变性的QCA的局部规则。
• 证明所有此类QCA均为结构可逆，即可通过分块酉方案实现可逆性。
• 提供从与平移对易的酉算符、经典可逆自动机、量子线路以及Clifford变换出发构建QCA的构造性方法。

提出的方法

• 将QCA定义为具有离散时间动力学、与晶格平移对易且具有严格有限传播速度的无限量子格点系统。
• 采用海森堡图像描述全局时间演化为可观测量代数上的*-自同态，确保可观测量在时间演化中保持局域性。
• 通过与晶格平移对易且保持有限传播的酉算符表征生成QCA的局部规则。
• 引入广义Margolus分块方案：将晶格划分为若干块，分块应用酉操作，时间演化在不同分块间交替进行。
• 从与平移对易的酉算符出发构造QCA，证明此类算符可生成有效的QCA时间步。
• 证明QCA可由可逆经典细胞自动机的量子化、量子线路以及有限Weyl系统上的Clifford变换构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限格点上，何种必要且充分条件可使一个局部规则生成具有有限传播速度的可逆量子细胞自动机？
• RQ2 最近邻量子细胞自动机的逆是否总能以最近邻自动机的形式实现？
• RQ3 如何系统地从已知的量子操作（如酉算符、线路或经典可逆规则）构建量子细胞自动机？
• RQ4 量子随机游走作为量子细胞自动机的特例，在多大程度上可被涵盖？
• RQ5 广义Margolus分块方案在确保QCA的可逆性与有限传播性方面起何种结构性作用？

主要发现

• 所有具有有限传播速度和平移不变性的可逆量子细胞自动机均为结构可逆，即它们可被分解为在分块格点上进行的分块酉操作序列。
• 最近邻量子细胞自动机的逆本身也是最近邻自动机，这一性质在经典情形中并不成立。
• 基于与晶格平移对易的酉算符，提供了生成此类QCA的局部规则的完整表征。
• 在单粒子区段中，量子随机游走被证明是量子格气自动机的特例，而后者本身即是具有粒子数守恒的QCA。
• 建立了多种构造方法：通过平移不变的酉算符、经典可逆自动机的量子化、量子线路以及有限Weyl系统上的Clifford变换。
• 该框架允许在海森堡图像中对QCA进行一致描述，避免了早期方法中全局酉操作定义不清的问题。