[论文解读] Robust optimization with incremental recourse

Ebrahim Nasrabadi, James B. Orlin|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2013

Risk and Portfolio OptimizationDecision Sciences参考文献 26被引用 19

一句话总结

本文提出了一种针对不确定线性规划的鲁棒增量优化框架，其中决策分为两个阶段：首先选择初始解，然后在不确定成本揭示后，在有界距离内进行调整。主要贡献在于证明：当不确定性集为多面体时，线性规划的鲁棒增量对等问题本身仍为线性规划，可在多项式时间内求解；同时，对于离散不确定性集，证明了其为 NP-难问题；对于多面体不确定性下的鲁棒增量最短路径和最小生成树问题，证明了其为 NP-完全问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider an adaptive approach to address optimization problems with uncertain cost parameters. Here, the decision maker selects an initial decision, observes the realization of the uncertain cost parameters, and then is permitted to modify the initial decision. We treat the uncertainty using the framework of robust optimization in which uncertain parameters lie within a given set. The decision maker optimizes so as to develop the best cost guarantee in terms of the worst-case analysis. The recourse decision is ``incremental"; that is, the decision maker is permitted to change the initial solution by a small fixed amount. We refer to the resulting problem as the robust incremental problem. We study robust incremental variants of several optimization problems. We show that the robust incremental counterpart of a linear program is itself a linear program if the uncertainty set is polyhedral. Hence, it is solvable in polynomial time. We establish the NP-hardness for robust incremental linear programming for the case of a discrete uncertainty set. We show that the robust incremental shortest path problem is NP-complete when costs are chosen from a polyhedral uncertainty set, even in the case that only one new arc may be added to the initial path. We also address the complexity of several special cases of the robust incremental shortest path problem and the robust incremental minimum spanning tree problem.

研究动机与目标

• 开发一种两阶段鲁棒优化模型，使得在不确定成本参数揭示后，决策可进行增量调整。
• 分析经典优化问题（如最短路径和最小生成树）的鲁棒增量变体的计算复杂度。
• 确定线性规划的鲁棒增量对等问题在不同不确定性集结构下的可解性。
• 为特定鲁棒增量问题建立复杂度界限，包括 NP-难性和 NP-完全性。

提出的方法

• 将鲁棒增量问题建模为双层优化问题：在初始解及其增量调整的最坏情况成本最小化下，受限于解空间的有界变化。
• 将增量集 𝒮ₓ 定义为所有在固定距离 K 内从初始解 x 可达的可行解，使用距离函数 F(x,y)。
• 对于多面体不确定性集，证明鲁棒增量线性规划可重述为单个线性规划，从而实现多项式时间求解。
• 应用拉格朗日松弛和对偶技术求解在基数约束不确定性下的增量最小生成树问题，利用拟阵结构和强对偶性。
• 利用优化与分离等价性，在不确定性集由成本偏差的基数约束定义时，以多项式时间求解对抗性问题。
• 为最小生成树公式中的子环消除约束使用分离 oracle，通过内点法或割平面法实现高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不确定性集为多面体时，线性规划的鲁棒增量对等问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 在多面体不确定性下，鲁棒增量最短路径问题的计算复杂度如何？
• RQ3 在基数约束不确定性下，鲁棒增量最小生成树问题是否为 NP-难问题或可在多项式时间内求解？
• RQ4 在鲁棒增量框架中，对抗性问题（最坏情况成本选择）是否可高效求解？
• RQ5 考虑到增量问题和对抗性问题均属于 NP，鲁棒增量问题的判定版本是否为 Σ₂^p-完全问题？

主要发现

• 当不确定性集为多面体时，线性规划的鲁棒增量对等问题本身仍为线性规划，因此可在多项式时间内求解。
• 当不确定性集为离散时，鲁棒增量线性规划问题为 NP-难问题，确立了其复杂度的下限。
• 在多面体不确定性集下，即使仅允许向初始路径添加一条新边，鲁棒增量最短路径问题仍为 NP-完全问题。
• 在基数约束不确定性集下，对抗性最小生成树问题可通过对偶性和子环约束的分离 oracle 在多项式时间内求解。
• 由于增量最小生成树问题可表示为均匀拟阵与森林拟阵的交集，因而具有整数规划性质，可实现高效的拉格朗日松弛。
• 在给定不确定性模型下，鲁棒增量最小生成树问题的精确复杂度类仍为开放问题，尽管其对抗性变体可在多项式时间内求解。