[论文解读] Rotationally-Invariant Circuits: Universality with the exchange interaction and two ancilla qubits

Iman Marvian, Hanqing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文证明，仅使用海森堡交换相互作用和两个辅助量子比特，旋转对称的量子线路即可实现通用性，从而克服了仅靠局域对称门无法实现通用性的根本局域性限制。关键结果是：单个辅助量子比特不足以实现通用性，但两个辅助量子比特可实现任意旋转对称酉操作的通用实现，该成果在自旋基量子计算和对称保护量子信息处理中具有应用价值。

ABSTRACT

Universality of local unitary transformations is one of the cornerstones of quantum computing with many applications and implications that go beyond this field. However, it has been recently shown that this universality does not hold in the presence of continuous symmetries: generic symmetric unitaries on a composite system cannot be implemented, even approximately, using local symmetric unitaries on the subsystems [I. Marvian, Nature Physics (2022)]. In this work, we study qubit circuits formed from k-local rotationally-invariant unitaries and fully characterize the constraints imposed by locality on the realizable unitaries. We also present an interpretation of these constraints in terms of the average energy of states with a fixed angular momentum. Interestingly, despite these constraints, we show that, using a pair of ancilla qubits, any rotationally-invariant unitary can be realized with the Heisenberg exchange interaction, which is 2-local and rotationally-invariant. We also show that a single ancilla is not enough to achieve universality. Finally, we discuss applications of these results for quantum computing with semiconductor quantum dots, quantum reference frames, and resource theories.

研究动机与目标

• 表征在具有 SU(2) 对称性的量子系统中，局域性对可实现的旋转对称酉操作施加的约束。
• 研究辅助量子比特是否能够克服局域对称门在连续对称性下实现通用量子计算的局限性。
• 从固定角动量下态的平均能量角度，为这些约束提供物理解释。
• 证明仅使用 2-局部、旋转对称的海森堡交换相互作用，两个辅助量子比特可实现任意旋转对称酉操作的通用实现。
• 探索在半导体量子点、量子参考系和资源理论中的应用。

提出的方法

• 作者分析由 k-局部对称哈密顿量生成的旋转对称酉操作群，重点关注可实现变换的李代数结构。
• 他们引入 l-体相位的概念以表征对称酉操作，并利用其识别在局域性约束下实现通用性的障碍。
• 通过在更大的空间中引入辅助量子比特，分析有效动力学，并表明尽管演化末期系统与辅助比特解耦，辅助比特之间的相互作用仍可实现通用性。
• 他们证明，由于当 l > k 时 l-体相位不为零，单个辅助量子比特无法实现通用性，而两个辅助量子比特可实现对对称子空间的完全控制。
• 他们使用群论和表示论工具，将整体系统的对称性结构与目标酉操作的可实现性联系起来。
• 他们构建了实现酉操作族（如多量子比特交换哈密顿量生成的酉操作）的显式方案，仅使用交换相互作用和辅助量子比特。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用旋转对称的 2-局部相互作用（如海森堡交换相互作用）实现通用量子计算？
• RQ2 在旋转对称量子线路中，实现通用性所需的最少辅助量子比特数量是多少？
• RQ3 局域性约束如何限制可实现对称酉操作的集合？这些限制由哪些物理可观测量反映？
• RQ4 辅助量子比特的存在是否能够克服局域对称门在对称量子系统中施加的根本限制？
• RQ5 l-体相位在局域性约束下表征对称酉操作可实现性方面起什么作用？

主要发现

• 单个辅助量子比特不足以在旋转对称量子线路中实现通用性，因为当 l > k 时，有效酉操作的 l-体相位仍不为零。
• 两个辅助量子比特可仅使用海森堡交换相互作用（2-局部且旋转对称）实现任意旋转对称酉操作的通用实现。
• 当系统包含两个辅助量子比特时，总系统的所有 l > 2 的 l-体相位均消失，满足使用 2-局部对称门实现可实现性的必要且充分条件。
• 添加两个辅助量子比特后，可实现酉操作的李代数维数并未增加，但辅助量子比特的结构使原本无法达到的对称变换得以实现。
• 该结果为在半导体量子点系统中实现如多量子比特交换哈密顿量生成的旋转对称酉操作提供了实用方案。
• 该框架通过对称门设计抑制错误，为容错量子计算提供了新方法，并在量子热力学和参考系理论中开辟了新应用。