[论文解读] Sampling Error Analysis in Quantum Krylov Subspace Diagonalization

Gwonhak Lee, Dongkeun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一套非渐近理论框架，用于分析量子Krylov子空间对角化（QKSD）中的采样误差，表明有限次测量会导致矩阵元产生高斯噪声，从而扰动广义特征值问题（GEVP）。该研究引入了一个最优截断阈值，以缓解由小奇异值引起的病态性，并通过一维Hubbard模型的数值验证表明，误差界能准确预测在条件良好区域内的实验采样误差。

ABSTRACT

Quantum Krylov subspace diagonalization (QKSD) is an emerging method used in place of quantum phase estimation in the early fault-tolerant era, where limited quantum circuit depth is available. In contrast to the classical Krylov subspace diagonalization (KSD) or the Lanczos method, QKSD exploits the quantum computer to efficiently estimate the eigenvalues of large-size Hamiltonians through a faster Krylov projection. However, unlike classical KSD, which is solely concerned with machine precision, QKSD is inherently accompanied by errors originating from a finite number of samples. Moreover, due to difficulty establishing an artificial orthogonal basis, ill-conditioning problems are often encountered, rendering the solution vulnerable to noise. In this work, we present a nonasymptotic theoretical framework to assess the relationship between sampling noise and its effects on eigenvalues. We also propose an optimal solution to cope with large condition numbers by eliminating the ill-conditioned bases. Numerical simulations of the one-dimensional Hubbard model demonstrate that the error bound of finite samplings accurately predicts the experimental errors in well-conditioned regions.

研究动机与目标

• 为解决NISQ时代中，由于量子线路有限测量而引起的QKSD中采样噪声这一关键挑战。
• 分析有限采样如何影响Krylov子空间内广义特征值问题（GEVP）中特征值估计的准确性。
• 开发一种稳健的非渐近误差分析框架，以量化采样噪声对QKSD结果的影响。
• 提出并证明一种最优截断策略，以消除病态基向量，从而提高数值稳定性。

提出的方法

• 将Hadamard测试中的采样误差建模为均值为零的高斯噪声，其方差受测量次数平方根倒数的限制。
• 推导了在Krylov子空间的Toeplitz与非Toeplitz构造下，扰动矩阵谱范数的非渐近上界。
• 基于重叠矩阵的奇异值提出一个截断阈值，以消除病态基向量并减少误差传播。
• 利用Frobenius范数与三角不等式，对投影哈密顿量矩阵中的总误差进行界控，将误差成分分离为对易误差与采样误差。
• 推导出在何种条件下Toeplitz构造的矩阵元误差低于非Toeplitz方法的渐近条件（公式117）。
• 通过在理想无噪声量子线路假设下对一维费米-Hubbard模型进行数值模拟，验证了理论误差界。

Figure 1: QKSD algorithm involves a quantum part carrying out the projection from the full Hilbert space to the Krylov subspace and a classical part solving the corresponding GEVP. Each element in the matrix pair $(\bm{H},\bm{S})$ is evaluated by the Hadamard test where the controlled $\hat{U}$ gate

实验结果

研究问题

• RQ1 Hadamard测试中的有限采样如何影响QKSD中特征值估计的准确性？
• RQ2 QKSD中由于采样噪声导致的扰动矩阵谱范数的非渐近界是什么？
• RQ3 在何种条件下，Toeplitz构造的矩阵元相比非Toeplitz构造能实现更优的误差降低？
• RQ4 如何缓解重叠矩阵的病态性，以提高QKSD中广义特征值问题的稳定性？
• RQ5 理论误差界能否准确预测在数值模拟的QKSD实现中观测到的实验采样误差？

主要发现

• 投影哈密顿量中采样误差的谱范数被限制在 $ O\bigl( \|\hat{H}\|_{\beta} n \sqrt{n \log n} / \sqrt{M_{\bm{H}}} \bigr) $，其中 $ M_{\bm{H}} $ 为测量次数。
• Toeplitz构造中的对易误差量级为 $ O\bigl( N_{\Gamma}^2 \|\hat{H}\| \Delta_t^2 n^3 / D^2 \bigr) $，当 $ \hat{U}_{\mathrm{ST}} $ 与 $ \hat{H} $ 不对易时引入系统性偏差。
• 推导出Toeplitz构造优于非Toeplitz方法的渐近条件：$ D = \Omega\bigl( N_{\Gamma} \Delta_t \bigl( \|\hat{H}\| / \|\hat{H}\|_{\beta} \bigr)^{1/2} (n^3 M_{\bm{H}} / \log n)^{1/4} \bigr) $。
• 所提出的截断阈值能有效去除病态基向量，降低对采样噪声的敏感性，并稳定GEVP求解。
• 一维Hubbard模型的数值模拟表明，理论误差界与良好条件区域中实际观测到的采样误差高度吻合。
• 该误差分析框架成功预测了随着测量次数增加，能级估计的收敛行为，验证了其在QKSD实现中的实际相关性。

Figure 2: Overview of the main results. Error matrices are considered as Gaussian random matrices whose standard deviations are derived in Appendix C . The statistics of the error matrix norm is derived using (Tropp, 2015 , Theorem 4.4.1) , whose proofs are provided in Appendix D . Accordingly, a bo