[论文解读] Scalar curvature and properness on Sasaki manifolds

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文通过证明：在紧致 Sasaki 流形上，存在横截常标量曲率 Sasaki（cscs）度量当且仅当 ${\mathcal{K}}$-能量在保持 Reeb 向量场与横截复结构的自同构群的单位连通分支模作用下是约化恰当的，从而确立了此类度量的存在性。证明方法借鉴了 Chen-Cheng 在 Kähler 几何中的策略，结合了标量曲率型方程的先验估计与 Sasaki 流形上的几何拟凸势论，同时对 Sasaki 设置中的固有挑战（尤其是非正则情形）进行了细致调整。

ABSTRACT

We study (transverse) scalar curvature type equation on compact Sasaki manifolds, in view of recent breakthrough of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} on existence of Kähler metrics with constant scalar curvature (csck) on compact Kähler manifolds. Following their strategy, we prove that given a Sasaki structure (with Reeb vector field and complex structure on its cone fixed ), there exists a Sasaki structure with transverse constant scalar curvature (cscs) if and only if the $\mathcal{K}$-energy is reduced proper modulo the identity component of the automorphism group which preserves both the Reeb vector field and transverse complex structure. Technically, the proof mainly consists of two parts. The first part is a priori estimates for scalar curvature type equations which are parallel to Chen-Cheng's results in \cite{CC2, CC3} in Sasaki setting. The second part is geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold, building up on profound results in geometric pluripotential theory on Kähler manifolds. There are notable, and indeed subtle differences in Sasaki setting (compared with Kähler setting) for both parts (PDE and pluripotential theory). The PDE part is an adaption of deep work of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} to Sasaki setting with necessary modifications. While the geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold has new difficulties, compared with geometric pluripotential theory in Kähler setting which is very intricate. We shall present the details of geometric pluripotential on Sasaki manifolds in a separate paper \cite{HL} (joint work with Jun Li).

研究动机与目标

• 建立紧致 Sasaki 流形上横截常标量曲率 Sasaki（cscs）度量存在的充分必要条件。
• 将 Chen-Cheng 对常标量曲率 Kähler 度量的策略扩展至 Sasaki 设置，特别是 ${\mathcal{K}}$-能量恰当性的角色。
• 在 Sasaki 背景下发展并适配标量曲率型方程的先验估计，与 Kähler 几何中的结果保持一致。
• 在紧致 Sasaki 流形上建立基础的几何拟凸势论，解决 Kähler 情形中不存在的新困难。
• 明确“${\mathcal{K}}$-能量关于保持 Reeb 场与横截复结构的自同构群的约化恰当性”的精确概念。

提出的方法

• 将 Chen 的连续路径方法适配至 Sasaki 设置，利用方程 $ t(R^{T}_{\phi}-\underline{R}) = (1-t)(\text{tr}_{\omega_{\phi}}\omega^{T}-n) $ 将横截 Kähler 度量与 cscs 解连接起来。
• 在 Sasaki 流形上建立标量曲率型方程的先验 $C^0$、$C^1$ 与 $C^2$ 估计，与 Chen-Cheng 在 Kähler 情形下的结果平行。
• 在横截 Kähler 潜势空间 $\mathcal{H}$ 上应用几何拟凸势论，使用 $d_1$-Finsler 距离来检验 ${\mathcal{K}}$-能量的恰当性。
• 利用 ${\mathcal{K}}$-能量在 $\mathcal{E}_1$ 中有限能量测地线上的凸性，在恰当性不成立时导出矛盾。
• 依赖于 $\mathcal{E}_1$ 上 $d_1$-拓扑的紧致性与 ${\mathcal{K}}$-能量的下半连续性，以提取极限度量。
• 对 Kähler 几何中的技术（特别是 Darvas 的笔记与 Chen-Cheng 的工作）进行修改，以适应 Sasaki 设置，尤其关注非正则 Reeb 叶状结构的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定 Reeb 向量场与横截复结构的紧致 Sasaki 流形上，何时存在横截常标量曲率度量？
• RQ2 在 Sasaki 设置中，如何表述并验证 ${\mathcal{K}}$-能量的恰当性，特别是模去保持 $\xi$ 与 $J$ 的自同构？
• RQ3 Sasaki 流形上横截标量曲率型方程解存在的必要与充分条件是什么？
• RQ4 分析工具（特别是先验估计与测地线凸性）如何从 Kähler 几何适配至 Sasaki 几何？
• RQ5 从 Kähler 扩展几何拟凸势论至 Sasaki 流形时，会引发哪些新的技术挑战，特别是在非正则情形下？

主要发现

• 横截常标量曲率 Sasaki 度量的存在性等价于 ${\mathcal{K}}$-能量关于 $\text{Aut}_0(\xi,J)$ 的约化恰当性。
• ${\mathcal{K}}$-能量在 $\mathcal{H}$ 上是 $d_{1,G}$-恰当的，若存在 cscs 度量，即存在常数 $C,D>0$，使得 $\mathcal{K}(\phi) \geq C d_{1,G}(0,\phi) - D$。
• 证明依赖于 ${\mathcal{K}}$-能量在有限能量测地线上之凸性，以及 $\mathcal{E}_1$ 中 $d_1$-拓扑的紧致性。
• Chen 的连续路径方法在 Sasaki 设置中至关重要且成功适配，通过从横截 Kähler 度量到 cscs 解的同伦构造出解。
• 在 Sasaki 背景下建立了标量曲率型方程的 $C^0$、$C^1$ 与 $C^2$ 先验估计，将 Chen-Cheng 的结果扩展至该设置。
• 本文指出，非正则 Reeb 叶状结构在拟凸势论中引入了显著的新困难，这些困难在后续工作 [40]（与 Jun Li 合作）中得到解决。