[论文解读] Schauder's estimate for nonlocal kinetic equations and its applications

Zimo Hao, Mingyan Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 48被引用 4

一句话总结

该论文针对由 $\alpha$-稳定 Lévy 白噪声驱动的退化非局部动能方程，建立了 Scauder 型估计，其中系数为 Hölder 连续，采用了一种结合 Littlewood-Paley 分解与热核估计的新方法。主要贡献在于证明了具有 Hölder 连续漂移的退化 SDE 的强适定性，以及在 Hölder 正则性条件下，随机输运方程存在 $C^1_b$-解。

ABSTRACT

In this paper we develop a new method based on Littlewood-Paley's decomposition and heat kernel estimates of integral form, to establish Schauder's estimate for the following degenerate nonlocal equation in $\mathbb R^{2d}$ with Hölder coefficients: $$ \partial_tu=\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}} u+b\cdot abla u+f,\ u_0=0, $$ where $u=u(t,x,{ m v})$ and $\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}}$ is a nonlocal $α$-stable-like operator with $α\in(1,2)$ and kernel function $κ$, which acts on the variable ${ m v}$. As an application, we show the strong well-posedness to the following degenerate stochastic differential equation with Hölder drift $b$: $$ { m d}Z_t=b(t,Z_t){ m d}t+(0,σ(t,Z_t){ m d}L^{(α)}_t),\ \ Z_0=(x,{ m v})\in\mathbb R^{2d}, $$ where $L^{(α)}_t$ is a $d$-dimensional rotationally invariant and symmetric $α$-stable process with $α\in(1,2)$, and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^{2d}$ is a $(γ,β)$-Hölder continuous function in $(x,{ m v})$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$ and $β\in\big(1-\fracα{2},1\big)$, $σ:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^d\otimes\mathbb R^d$ is a Lipschitz function. Moreover, we also show that for almost all $ω$, the following random transport equation has a unique $C^1_b$-solution: $$ \partial_tu(t,x,ω)+(b(t,x)+L^{(α)}_t(ω))\cdot abla_x u(t,x,ω)=0,\ \ u(0,x)=φ(x), $$ where $φ\in C^1_b(\mathbb R^d)$ and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded continuous function in $(t,x)$ and $γ$-order Hölder continuous in $x$ uniformly in $t$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$.

研究动机与目标

• 为退化非局部动能方程在 $\alpha$-稳定 Lévy 噪声（$\alpha \in (1,2)$）下建立新的分析框架，以实现 Scauder 估计。
• 建立由加法 $\alpha$-稳定噪声驱动的具有 Hölder 连续漂移的退化 SDE 的适定性。
• 在 $\alpha$-稳定 Lévy 噪声扰动下，证明具有 Hölder 系数的随机输运方程存在唯一 $C^1_b$-解及其正则性。

提出的方法

• 开发了一种基于 Littlewood-Paley 分解与积分形式热核估计的新方法，用于分析非局部动能算子。
• 将非局部算子 $\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$ 分解为小跳跃部分（$\widetilde{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$）与大跳跃部分（$\overline{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$），分别处理。
• 通过可测映射 $g(t,x,\mathrm{v},w)$ 的变量替换，将小跳跃部分转化为可应用经典 PDE 技术的形式。
• 对一系列正则化 PDE 应用 Picard 迭代，每一步通过随机流表示与 $\mathscr{C}^m$-正则性估计求解。
• 利用 Gronwall 不等式与 Fatou 引理，证明迭代序列在 $C([0,T];\mathscr{C}^m)$ 中收敛，对所有 $m \in \mathbb{N}$ 成立，从而得到光滑类中的解。
• 该方法利用 Lévy 噪声的正则化效应，补偿漂移系数中较低的正则性，使得 Hölder 连续性足以保证适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \in (1,2)$ 时，能否为具有 $\alpha$-稳定 Lévy 噪声与 Hölder 连续系数的退化非局部动能方程建立 Scauder 估计？
• RQ2 是否 $\alpha$-稳定 Lévy 噪声的正则化效应可保证具有 Hölder 连续漂移的退化 SDE 的强适定性？
• RQ3 在何种正则性条件下，具有 $\alpha$-稳定噪声的随机输运方程几乎必然存在唯一的 $C^1_b$-解？

主要发现

• 为退化非局部动能方程 $\partial_t u = \mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}u + b \cdot \nabla u + f$ 建立了 Scauder 估计，其中 $\alpha \in (1,2)$ 且系数为 Hölder 连续。
• 证明了退化 SDE $dZ_t = b(t,Z_t)dt + (0, \sigma(t,Z_t)dL_t^{(\alpha)})$ 的强适定性，当 $b$ 为 $(\gamma,\beta)$-Hölder 连续，且 $\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$ 与 $\beta \in \left(1 - \frac{\alpha}{2}, 1\right)$ 时成立。
• 对几乎所有 $\omega$，随机输运方程 $\partial_t u + (b(t,x) + L_t^{(\alpha)}(\omega)) \cdot \nabla_x u = 0$ 存在唯一的 $C^1_b$-解，当 $b$ 有界、关于 $t$ 连续，且关于 $x$ 为 $\gamma$-Hölder 连续，$\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$ 时。
• 解通过一系列 $\mathscr{C}^m$-正则化 PDE 的 Picard 迭代构造，其收敛性在 $C([0,T]; \mathscr{C}^m)$ 中对所有 $m \in \mathbb{N}$ 建立。
• 该方法确保了 $\|u_n(s)\|_{\mathscr{C}^m}$ 与 $\|u_n - u_k\|_{\mathscr{C}^m}$ 的一致有界性，通过 Gronwall 不等式与 Fatou 引理在 $\mathscr{C}^m$ 拓扑中实现收敛。
• 关键技术突破在于利用可测变换 $g$ 重参数化小跳跃部分，使经典 PDE 技术可应用于非局部算子。