[论文解读] SDEs with critical time dependent drifts: strong solutions

Michael Röckner, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 48被引用 14

一句话总结

本文在临界 Lebesgue 空间中建立了时变非齐次 SDE 的唯一强解可解性，解决了长期存在的开放问题。通过在 Wiener-Sobolev 空间中引入紧致性准则，证明了在 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件下解的存在性、唯一性与正则性，其应用涵盖随机 Navier-Stokes 系统与 Malliavin 微积分。

ABSTRACT

Based on a compactness criterion for random fields in Wiener-Sobolev spaces, in this paper, we prove the unique strong solvability of time-inhomogeneous stochastic differential equations with drift coefficients in critical Lebesgue spaces, which gives an affirmative answer to a longstanding open problem. As an application, we also prove a regularity criterion for solutions of a stochastic system proposed by Constantin and Iyer (Comm. Pure. Appl. Math. 61(3): 330-345, 2008), which is closely related to the Navier-Stokes equations.

研究动机与目标

• 解决在临界 Lebesgue 空间中时变漂移 SDE 的唯一强解可解性这一长期开放问题。
• 在 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件下建立相关随机流的正则性性质。
• 为与 Navier-Stokes 方程相关的随机系统解提供正则性准则。
• 将 Malliavin 微积分与 Wiener chaos 分解的应用范围扩展至具有奇异漂移的 SDE。

提出的方法

• 为处理奇异漂移，在 Wiener-Sobolev 空间中发展了随机场的新紧致性准则。
• 应用 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件：$ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $，其中 $ p_1, q_1 \in (2,\infty) $，以确保临界可积性。
• 利用随机流估计与流梯度的矩界，证明弱可微性。
• 采用 Malliavin 微积分与 Wiener chaos 分解，控制解流的高阶导数。
• 应用 Gronwall 型不等式，控制流在时间和空间上的 Hölder 连续性。
• 通过 Fokker-Planck-Kolmogorov 方法，建立 SDE 解与 Kolmogorov 方程之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $ 且满足 $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $ 时，SDE $ X_{s,t}^x = x + \int_s^t b(r,X_{s,r}^x)\,dr + W_t - W_s $ 是否存在唯一强解？
• RQ2 在临界漂移可积性条件下，能否证明随机流 $ \{X_{s,t}^x\} $ 具有弱可微性？
• RQ3 流在空间与时间 Hölder 连续性方面具有何种正则性估计？
• RQ4 与 Navier-Stokes 方程相关的随机系统解在临界漂移条件下是否满足正则性准则？
• RQ5 在附加无散度或小范数假设下，是否可将端点情形 $ p_1 = d, q_1 = \infty $ 扩展至强解？

主要发现

• 在临界 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件下，SDE 存在唯一强解：$ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $，其中 $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $，且 $ p_1, q_1 \in (2,\infty) $。
• 解满足估计式 $ \sup_x \mathbb{E}\left(\int_s^T f(t,X_{s,t}^x)\,dt\right) \leq C\|f\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^p_q(s,T)} $，其中 $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2 $。
• 随机场 $ \{X_{s,t}^x\} $ 构成一个弱可微的随机流，且满足 $ \sup_{s,t} \int_{\mathbb{R}^d} \mathbb{E}|\nabla X_{s,t}^x - I|^r \,dx < \infty $，其中 $ r \in [2,\infty) $。
• 流满足空间与时间的 Hölder 连续性：$ \mathbb{E}|X_{s_1,t_1}^{x_1} - X_{s_2,t_2}^{x_2}|^r \leq C(|x_1 - x_2|^{r-d} + |s_1 - s_2|^{\beta(r-d)} + |t_1 - t_2|^{\beta r}) $，其中 $ r > d $，$ \beta \in (0,\frac{1}{2}) $。
• 与 Navier-Stokes 方程相关的随机系统解在相同漂移条件下满足正则性准则。
• 流的高阶导数满足矩界：对所有 $ r \geq 1 $，有 $ \sup_x \mathbb{E}\sup_{s \in [t,0]} |\nabla^2 X_{t,s}^x|^r < \infty $。