[论文解读] Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用 22

一句话总结

本文在障礙物具備正則性與分離條件的假設下，確立了雙重反射二階倒向隨機微分方程（2BSDEs）在兩個一般反射邊界下的解的存在性與唯一性。本文將這些2BSDEs與模型不確定性下的不確定Dynkin博弈聯繫起來，並為在波動率不確定性下的美式博弈期權定價提供了一套新框架，將經典的DRBSDE理論擴展至金融市場中的模型不確定性情境。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of [33] concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of two obstacles. Under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in [10], and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas [11]. More precisely, we show under a technical assumption that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty

研究动机与目标

• 將二階反射BSDE之適定性理論從單一反射邊界擴展至兩個反射邊界。
• 建立雙重反射二階BSDE與模型不確定性下最佳停時博弈之間的聯繫。
• 在波動率不確定性下的金融市場中，為美式博弈期權（以色列期權）提供一種新的定價方法。
• 將經典DRBSDE與Dynkin博弈之間的聯繫推廣至不確定性下的二階設定。
• 發展一個不完全市場中波動率模糊性下的超對沖與次對沖的理論框架。

提出的方法

• 引入具備兩個邊界L與U的雙重反射二階BSDE，其中解Y被約束於兩者之間。
• 對其中一個邊界施加正則性條件（類似於[10]中的條件），並假設兩個邊界完全分離。
• 使用懲罰法與先驗估計，證明在給定假設下解的存在性與唯一性。
• 應用g上鞅的比較定理，並為懲罰後的解序列構造弱極限。
• 透過生成器上的技術性假設，建立2BSDE解與不確定Dynkin博弈價值過程之間的聯繫。
• 將理論應用於推導在波動率不確定性下美式博弈期權的超對沖與次對沖價格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，具備兩個邊界的雙重反射二階BSDE會存在唯一解？
• RQ2 如何將二階反射BSDE與模型不確定性下的最佳停時博弈聯繫起來？
• RQ3 在波動率不確定的情境下，能否利用二階BSDE理論來定價美式博弈期權？
• RQ4 Mokobodski型條件在二階反射BSDE的脈絡中扮演何種角色？
• RQ5 這些2BSDE的解如何與不確定Dynkin博弈的值函數相關？

主要发现

• 在兩個邊界具備正則性與分離性的假設下，本文確立了雙重反射二階BSDE的完整適定性理論。
• 在生成器的技術性假設下，證明了2BSDE的解可表示為不確定Dynkin博弈的價值過程。
• 2BSDE框架允許在波動率不確定的市場中推導美式博弈期權的超對沖與次對沖價格。
• 解的存在性透過懲罰方案與先驗估計證明，並透過弱極限確立收斂性。
• 透過g上鞅的下穿不等式分析了解的時間正則性，將經典結果推廣至二階設定。
• 應用g上鞅的比較定理，確立了局部時過程K+與K−的最小作用，確保解始終維持在邊界之間。