[论文解读] Semi-invariant submersions from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入了从几乎殆复流形到黎曼流形的半不变黎曼子流形，推广了反不变和几乎殆复子流形。它建立了总流形为局部积流形的几何条件，刻画了全测地子流形，并证明了在复空间形式上具有全脐纤维的半不变子流形的曲率必为零（c=0），并给出了分类结果，表明纤维要么全测地，要么水平分布为一维。

ABSTRACT

We introduce semi-invariant Riemannian submersions from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds. We give examples, investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of a Riemannian submersion and find necessary-sufficient conditions for total manifold to be locally product Riemannian manifold. We also find necessary and sufficient conditions for a semi-invariant submersion to be totally geodesic. Moreover, we obtain a classification for semi-invariant submersions with totally umbilical fibers and show that such submersions put some restrictions on total manifolds.

研究动机与目标

• 通过从几乎殆复流形引入半不变黎曼子流形，推广反不变和几乎殆复子流形。
• 研究子流形诱导的叶状结构的几何性质，特别是叶的可积性与几何结构。
• 推导总流形为局部积黎曼流形的充要条件。
• 确定此类子流形为全测地的条件。
• 对具有全脐纤维的半不变子流形进行分类，并分析其曲率约束。

提出的方法

• 将半不变黎曼子流形定义为从几乎殆复流形出发的黎曼子流形，其中垂直分布为反不变，水平分布关于几乎复结构不变。
• 使用O’Neill张量𝒜和𝒯分析子流形的几何性质并推导曲率关系。
• 应用复空间形式的曲率张量，当纤维为全脐时，约束总流形的曲率。
• 利用平均曲率向量场H，并通过张量恒等式和结构方程证明其属于J𝒟₂。
• 利用切丛的分解：kerF*、(kerF*)⊥以及J-不变子丛𝒟₂。
• 通过分析某些张量分量的消失性及分布的正交性，证明分类定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半不变子流形的总流形为局部积黎曼流形？
• RQ2 半不变子流形为全测地的充要条件是什么？
• RQ3 当半不变子流形在复空间形式上具有全脐纤维时，会产生何种曲率约束？
• RQ4 此类子流形中，纤维的平均曲率向量场如何表现？
• RQ5 对具有全脐纤维的半不变子流形可实现何种分类？

主要发现

• 当且仅当涉及F*的协变导数、张量𝒜和𝒯以及分布kerF*和(kerF*)⊥的特定张量条件消失时，总流形为局部积黎曼流形。
• 当且仅当张量𝒜和𝒯在相关分布上消失时，半不变子流形为全测地。
• 若半不变子流形具有全脐纤维且总流形为复空间形式，则曲率必为零（c=0）。
• 纤维的平均曲率向量场H位于J-不变子丛J𝒟₂中，这限制了纤维的几何结构。
• 在凯勒流形上，具有全脐纤维的半不变子流形，其水平分布𝒟₂必为一维或纤维全测地。