[论文解读] Settling SETH vs. Approximate Sparse Directed Unweighted Diameter (up to (NU)NSETH)

Ray Li|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文在强指数时间假设（SETH）及其变体下，为稀疏有向无权图的直径近似问题建立了紧致的条件下界。研究证明，在 SETH 假设下，不存在近线性时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法，表明标准的 2-近似是最优的。该工作进一步刻画了确定性和随机化 SETH 基础归约在 NSETH 和 NUNSETH 下的极限，解决了关于直径近似精细复杂性的长期开放问题。

ABSTRACT

We prove several tight results on the fine-grained complexity of approximating the diameter of a graph. First, we prove that, for any $\varepsilon>0$, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), there are no near-linear time $2-\varepsilon$-approximation algorithms for the Diameter of a sparse directed graph, even in unweighted graphs. This result shows that a simple near-linear time 2-approximation algorithm for Diameter is optimal under SETH, answering a question from a survey of Rubinstein and Vassilevska-Williams (SIGACT '19) for the case of directed graphs. In the same survey, Rubinstein and Vassilevska-Williams also asked if it is possible to show that there are no $2-\varepsilon$ approximation algorithms for Diameter in a directed graph in $O(n^{1.499})$ time. We show that, assuming a hypothesis called NSETH, one cannot use a deterministic SETH-based reduction to rule out the existence of such algorithms. Extending the techniques in these two results, we characterize whether a $2-\varepsilon$ approximation algorithm running in time $O(n^{1+δ})$ for the Diameter of a sparse directed unweighted graph can be ruled out by a deterministic SETH-based reduction for every $δ\in(0,1)$ and essentially every $\varepsilon\in(0,1)$, assuming NSETH. This settles the SETH-hardness of approximating the diameter of sparse directed unweighted graphs for deterministic reductions, up to NSETH. We make the same characterization for randomized SETH-based reductions, assuming another hypothesis called NUNSETH. We prove additional hardness and non-reducibility results for undirected graphs.

研究动机与目标

• 为在强指数时间假设（SETH）下，稀疏有向无权图的直径是否存在近线性时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法这一问题提供解答。
• 解决 Rubinstein 和 Vassilevska-Williams（2019）提出的开放问题，即 2-近似是否最优，以及是否存在 $O(n^{1.499})$ 时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法。
• 在 NSETH 和 NUNSETH 下，刻画对于哪些 $\delta \in (0,1)$ 和 $\varepsilon \in (0,1)$，可以通过确定性或随机化 SETH 基础归约排除 $O(n^{1+\delta})$ 时间内实现 $2 - \varepsilon$-近似的可能性。
• 将分析扩展至无向图，并证明额外的困难性与不可归约性结果。

提出的方法

• 从 3-正交向量（3-OV）问题归约，构造一个稀疏有向无权图：当 3-OV 无解时，图的直径为 3；当 3-OV 有解时，图的直径至少为 5。
• 构造一个三部图，包含集合 $S$、$X$ 和 $Y$，其中 $S$ 中的顶点表示向量对，$X$ 和 $Y$ 中的顶点表示特定的索引三元组，并基于向量分量设定连通规则。
• 利用三角不等式和路径长度分析，证明在无解情况下直径有界为 3，而在有解情况下直径超过 4，依赖正交性约束阻止短路径的存在。
• 采用基于 SETH 的归约，证明除非 SETH 失效，否则无法在近线性时间内实现 $2 - \varepsilon$-近似，并将该结果扩展至 NSETH 和 NUNSETH，以获得更广泛的不可归约性结果。
• 分析构造图中路径的结构，证明若在 $S$ 中的特定源点与目标点之间存在长度 ≤4 的路径，则意味着存在 3-OV 解，与无解假设矛盾。
• 将该框架应用于确定性和随机化归约，利用 NSETH 和 NUNSETH 假设，排除可能暗示快速 $2 - \varepsilon$-近似算法存在的归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SETH 假设下，稀疏有向无权图的直径近似是否存在近线性时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法？
• RQ2 假设 SETH，是否存在 $O(n^{1.499})$ 时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法用于稀疏有向无权图的直径？
• RQ3 对于哪些 $\delta \in (0,1)$ 和 $\varepsilon \in (0,1)$，可以由确定性 SETH 基础归约排除 $O(n^{1+\delta})$ 时间内实现 $2 - \varepsilon$-近似的可能性？
• RQ4 在 NUNSETH 假设下，考虑随机化归约时，SETH 基础归约的极限如何变化？
• RQ5 对于无向图的直径近似，其精细复杂性界是什么？特别是与现有近似算法的关系如何？

主要发现

• 假设 SETH，对于任意 $\varepsilon > 0$，稀疏有向无权图的直径不存在近线性时间的 $2 - \varepsilon$-近似算法，从而证明 2-近似是最优的。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得在 SETH 下，$O(n^{1+\delta})$ 时间内实现 $2 - \varepsilon$-近似被排除，表明该界是紧致的。
• 在 NSETH 下，不存在确定性 SETH 基础归约能排除 $O(n^{1.499})$ 时间内实现 $2 - \varepsilon$-近似算法的可能性，表明当前归约技术的局限性。
• 本文在假设 NSETH 的前提下，刻画了所有 $\delta \in (0,1)$ 和 $\varepsilon \in (0,1)$，使得 $2 - \varepsilon$-近似在 $O(n^{1+\delta})$ 时间内被确定性 SETH 基础归约排除的完整范围。
• 对于随机化归约，该刻画在 NUNSETH 假设下依然成立，将不可归约性结果扩展至随机化情形。
• 该构造证明：当 3-OV 无解时，图的直径为 3；当 3-OV 有解时，直径至少为 5，从而为归约建立了紧致的差距。