[论文解读] Several Classes of Permutation Trinomials over $\mathbb F_{5^n}$ From Niho Exponents

Gaofei Wu, Nian Li|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过识别在 $\ufb01{F}_{q^2}$ 中置换 $(q+1)$-th单位根的分式多项式，利用 Niho 指数在 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上构造了若干新的置换三项式类。关键贡献在于构造了形如 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ 的置换三项式，其中 $\rho_1, \rho_2 \in \sum 1$，并基于关于根置换的两个猜想。

ABSTRACT

The construction of permutation trinomials over finite fields attracts people's interest recently due to their simple form and some additional properties. Motivated by some results on the construction of permutation trinomials with Niho exponents, by constructing some new fractional polynomials that permute the set of the $(q+1)$-th roots of unity in $\mathbb F_{q^2}$, we present several classes of permutation trinomials with Niho exponents over $\mathbb F_{q^2}$, where $q=5^k$.

研究动机与目标

• 在有限域 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上构造具有简单代数形式的新类置换三项式。
• 通过已知可产生稀疏且结构化置换多项式的 Niho 指数，扩展已知的置换多项式类。
• 建立置换 $(q+1)$-th 单位根与通过引理 2 构造置换三项式之间的联系。
• 提出并分析两个关于分式多项式的猜想，若为真，则可导出新的置换三项式家族。
• 识别在何种条件下特定三项式形式在 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上为置换多项式的问题。

提出的方法

• 利用引理 2，其为形如 $f(x) = x^l g(x^{(q^2-1)/s})$ 的置换多项式提供判别准则，要求 $\gcd(l, (q^2-1)/s) = 1$，且 $x^l g(x)^{(q^2-1)/s}$ 置换 $s$-th 单位根。
• 构造了 10 个分式多项式 $g_1(x), g_2(x), \dots, g_{10}(x)$，它们置换 $\mu_{q+1}$，即 $\ufb01{F}_{q^2}$ 中的 $(q+1)$-th 单位根，其中 $q = 5^k$。
• 利用从 $\ufb01{F}_{q^2}$ 到 $\ufb01{F}_q$ 的迹函数和范数函数分析三项式映射的行为，特别是 ${{\rm Tr}}(x^d)$ 和 ${{\rm N}}(x)$。
• 应用引理 1 中通过直接计算导出的关于 ${{\rm Tr}}(x^d)$ 和 ${{\rm N}}(x)$ 的代数恒等式，其中 $d = 2,3,4,8,9$。
• 将置换问题简化为在 $\mu_{q+1}$ 上分析有理函数 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ 和 $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$，从而提出猜想。
• 通过分析 $\mu_{q+1}$ 上相关 $g(x)$ 的行为，将三项式 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ 变换为适用于引理 2 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $s + t = 0$ 或 $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ 时，三项式 $f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} - x^{t(5^k-1)+1}$ 在什么条件下置换 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$？
• RQ2 当 $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ 时，$f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} + x^{t(5^k-1)+1}$ 在什么条件下成为 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上的置换三项式？
• RQ3 对于偶数 $k$，其中 $q = 5^k$，有理函数 $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$ 是否置换 $\ufb01{F}_{q^2}$ 中的 $(q+1)$-th 单位根？
• RQ4 能否证明对于奇数 $k$，有理函数 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ 置换 $\mu_{q+1}$？
• RQ5 对于 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$，在 $\rho_1, \rho_2 \in \{1, -1\}$ 时，$c_1, c_2$ 的指数和系数满足什么充要条件，可使其成为 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上的置换多项式？

主要发现

• 该论文通过识别在 $\ufb01{F}_{q^2}$ 中置换 $(q+1)$-th 单位根的分式多项式，构造了若干新的 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上的置换三项式类，其中 $q = 5^k$。
• 对于 $q = 5^k$，函数 $g_1(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s - 2}{x^s + 2} \right)^2$，其中 $s = \frac{q+3}{4}$，已被证明置换 $\mu_{q+1}$，从而导出一类新的置换三项式。
• 函数 $g_2(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s + 2}{x^s - 2} \right)^2$，其中 $s = \frac{q+1}{4}$，被证明置换 $\mu_{q+1}$，从而产生另一类置换三项式。
• 猜想 1 表明，有理函数 $-r(\frac{r^2 - r + 2}{r^2 + r + 2})^2$，其中 $r = \frac{{\rm Tr}(x)^2}{{\rm N}(x)}$，是单射，若为真，则可唯一确定 ${{\rm Tr}}(x)$ 和 ${{\rm N}}(x)$ 从 $f(x)$，从而暗示置换性。
• 猜想 2 提出 $-x(\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2})^2$ 置换 $\mu_{q+1}$ 对于偶数 $k$ 成立，若为真，则导出一类新的置换三项式，其指数为 $s = \frac{q+2}{3} + 1$，$t = 2\cdot\frac{q+2}{3}$。
• 论文证明，若猜想 2 成立，则 $f(x) = x - x^{s(q-1)+1} - x^{t(q-1)+1}$ 对于偶数 $k$ 置换 $\ufb01{F}_{q^2}$，其中 $s$ 和 $t$ 如定义所示，通过引理 2 及 $g_{10}(x)$ 在 $\mu_{q+1}$ 上的变换。