[论文解读] Shallow shadows: Expectation estimation using low-depth random Clifford circuits

Christian Bertoni, Jonas Haferkamp+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 56被引用 13

一句话总结

本文提出了一种深度调制的随机测量方案，该方案在随机泡利和随机 Clifford 电路之间插值，实现了使用低深度电路对量子态性质进行高效且实验上可行的估计。该方法为泡利算符和低键维数矩阵乘积算符可观测量的期望值估计提供了严格的性能保证，且深度随量子比特数呈对数尺度增长。

ABSTRACT

We provide practical and powerful schemes for learning many properties of an unknown n-qubit quantum state using a sparing number of copies of the state. Specifically, we present a depth-modulated randomized measurement scheme that interpolates between two known classical shadows schemes based on random Pauli measurements and random Clifford measurements. These can be seen within our scheme as the special cases of zero and infinite depth, respectively. We focus on the regime where depth scales logarithmically in n and provide evidence that this retains the desirable properties of both extremal schemes whilst, in contrast to the random Clifford scheme, also being experimentally feasible. We present methods for two key tasks; estimating expectation values of certain observables from generated classical shadows and, computing upper bounds on the depth-modulated shadow norm, thus providing rigorous guarantees on the accuracy of the output estimates. We consider observables that can be written as a linear combination of poly(n) Paulis and observables that can be written as a low bond dimension matrix product operator. For the former class of observables both tasks are solved efficiently in n. For the latter class, we do not guarantee efficiency but present a method that works in practice; by variationally computing a heralded approximate inverses of a tensor network that can then be used for efficiently executing both these tasks.

研究动机与目标

• 开发一种实用的类经典阴影替代方案，以在大规模量子系统中平衡样本效率与实验可行性。
• 通过引入深度调制方案，解决现有类经典阴影的局限性——随机泡利（低深度但对高权重可观测量缩放性能差）与随机 Clifford（高性能但不切实际的深度）之间的权衡。
• 仅使用 O(poly(n)) 份副本和 O(log n) 的电路深度，实现对包含 poly(n) 个泡利算符和低键维数矩阵乘积算符的可观测量的期望值的精确估计。
• 提供对阴影范数的严格上界，确保估计精度的理论保证。

提出的方法

• 提出一种随机测量协议，通过可调深度参数在随机泡利（零深度）和随机 Clifford（无限深度）电路之间插值。
• 使用深度与量子比特数 n 呈对数尺度增长的低深度随机 Clifford 电路，使方案在保持完整 Clifford 电路关键优势的同时具备实验可行性。
• 采用基于张量网络的变分方法，为低键维数矩阵乘积算符计算出被预告的近似逆，从而在缺乏保证多项式时间缩放的前提下实现实际估计。
• 通过在转移矩阵框架中使用路径计数论证，推导出深度调制阴影范数的严格上界，利用高距离路径贡献的指数衰减特性。
• 对路径配置实施基于权重的分解，通过几何级数和指数衰减估计，对超出深度 d 的路径贡献之和进行上界估计。
• 证明：当可观测量支持在大小为 p 的子区域上，且满足 p + 2d ≤ r log n 时，该方法在深度 d = Θ(log n) 下仍能保持强性能，确保可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一种低电路深度的随机测量方案，仍能保持完整随机 Clifford 电路在估计量子可观测量时的精度与样本效率？
• RQ2 当使用浅层电路时，如何对低键维数矩阵乘积算符类可观测量的估计误差进行严格上界估计？
• RQ3 何种深度缩放足以在保持实验可行性的同时，使性能与完整 Clifford 电路相当？
• RQ4 张量网络技术能否用于高效估计超越泡利类可观测量的期望值，即使在缺乏保证多项式时间缩放的情况下？
• RQ5 在随机测量协议中，电路深度与估计精度之间的权衡是什么？如何对其进行定量表征？

主要发现

• 所提出的深度调制方案在仅需 O(log n) 电路深度的情况下，性能可与完整随机 Clifford 电路相媲美，使其在大规模系统中具备实验可行性。
• 对于作为 poly(n) 个泡利算符线性组合的可观测量，期望值估计与阴影范数上界均可在 n 上高效计算。
• 对于低键维数矩阵乘积算符，该方法提供了一种基于张量网络的实用方法来估计期望值，尽管不保证多项式时间缩放。
• 阴影范数上界通过转移矩阵模型中的路径计数论证推导得出，表明超出深度 d 的路径贡献呈指数衰减。
• 当可观测量支持被限制在大小为 p 的区域，且深度 d 满足 d ≥ (α log n + log(1/c)) / log(16/25) 时，该方法能保持与完整 Clifford 结果的常数因子近似，且误差随 n 增大而减小。
• 分析表明，将误差界中的依赖 n 的因子替换为 p + 2d，可在可观测量局域时获得更紧的上界，从而提升局域可观测量的可扩展性。