[论文解读] Sheaf quantization and intersection of rational Lagrangian immersions

Tomohiro Asano, Yuichi Ike|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文利用微局部层理论，为余切丛中的有理拉格朗日子浸入构造了层量化，实现了纯层论的位移能量上界估计，并给出了拉格朗日子浸入与其哈密顿像之间交点数目的贝蒂数/上杯长估计。该方法依赖于一种新颖的三角化轨道范畴中的层量化，该范畴具有周期结构，利用塔马克林范畴技术推导出能量与交点估计。

ABSTRACT

We study rational Lagrangian immersions in a cotangent bundle, based on the microlocal theory of sheaves. We construct a sheaf quantization of a rational Lagrangian immersion and investigate its properties in Tamarkin category. Using the sheaf quantization, we give an explicit bound for the displacement energy and a Betti/cup-length estimate for the number of the intersection points of the immersion and its Hamiltonian image by a purely sheaf-theoretic method.

研究动机与目标

• 为余切丛中紧致子集的位移能量估计构建一个纯层论框架。
• 为强有理拉格朗日子浸入构造层量化，这些浸入是具有李布弦的Legendrian子流形的锥化。
• 提供一种完全基于层论的位移能量上界，避免依赖Floer理论。
• 推导拉格朗日子浸入与其哈密顿像之间交点数目的贝蒂数与上杯长估计。
• 通过周期性层构造，将塔马克林范畴方法的应用扩展至非精确与非紧致拉格朗日子浸入。

提出的方法

• 在三角化轨道范畴 $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}_{/[1]}(M\times(0,a)\times\mathbb{R}/\theta\mathbb{Z})$ 中构造层量化，其中 $a$ 小于最短李布弦长度。
• 使用 $M\times(0,a)\times\mathbb{R}/\theta\mathbb{Z}$ 上的一族层，使其收敛至代表锥化Legendrian层量化的极限对象。
• 利用塔马克林范畴 $\mathcal{D}(M)$ 及其周期变体 $\mathcal{D}^{P}_{\theta}(M)$，通过内 Hom 函子 $\mathop{{\mathcal{H}}\rm{om}}\nolimits^{\star}$ 定义平移距离。
• 将层论位移能量 $e_{\mathcal{D}^{P}(M)_{\theta}}(F,G)$ 定义为满足 $\tau_{0,c}(Rq_{*}\mathop{{\mathcal{H}}\rm{om}}\nolimits^{\star}(F,G)) = 0$ 的下确界 $c$。
• 应用典范态射 $R\bar{s}_{*}(\bar{q}_{1}^{-1}\mathcal{H} \otimes \bar{q}_{2}^{-1}\mathbf{k}_{M\times P\times\gamma}) \to \mathcal{H}$ 控制微小支撑并推导能量估计。
• 利用极锥条件 $\operatorname{{\operatorname{SS}}}(\mathcal{H}) \subset T^{*}(M\times P)\times(S^{1}_{\theta}\times\mathbb{R})\times\gamma^{\circ}$ 确保微小支撑的正确包含。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为强有理拉格朗日子浸入构造层量化，即使李布弦阻碍了标准构造？
• RQ2 是否可以仅使用层论数据来界定此类浸入的位移能量，而无需Floer同调？
• RQ3 层的微小支撑与其中关联拉格朗日的动力学之间有何关系？
• RQ4 如何通过层不变量估计拉格朗日子浸入与其哈密顿像之间的交点数目？
• RQ5 塔马克林范畴框架能否通过周期性或轨道类似结构扩展，以处理有理拉格朗日？

主要发现

• 为任意强有理拉格朗日子浸入构造了层量化，作为 $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}_{/[1]}(M\times(0,a)\times\mathbb{R}/\theta\mathbb{Z})$ 中的对象，其中 $a$ 小于最短李布弦长度。
• 对于 $T^{*}M$ 中的紧致子集 $A,B$，其位移能量 $e(A,B)$ 满足 $e(A,B) \geq e_{\mathcal{D}^{P}(M)_{\theta}}(F,G)$，其中任意 $F \in \mathcal{D}^{P}_{A}(M)_{\theta}$，$G \in \mathcal{D}^{P}_{B}(M)_{\theta}$ 且投影适当。
• 层论位移能量由 $e_{\mathcal{D}^{P}(M)_{\theta}}(F,G) = \inf\{c \in \mathbb{R}_{\geq 0} \mid \tau_{0,c}(Rq_{*}\mathop{{\mathcal{H}}\rm{om}}\nolimits^{\star}(F,G)) = 0\}$ 给出。
• 利用层论框架，推导出拉格朗日子浸入与其哈密顿像之间交点数目的贝蒂数与上杯长估计。
• 该方法给出了 [AI20] 中主定理的改进版本，通过使用 $M\times(0,a)\times\mathbb{R}/\theta\mathbb{Z}$ 而非 $M\times\mathbb{R}/\theta\mathbb{Z}$，实现了更优的能量估计。
• 通过将参数空间限制在 $(0,a)$，该构造将Guillermou的层量化推广至具有李布弦的非精确拉格朗日。