[论文解读] Shimura curves within the locus of hyperelliptic Jacobians in genus three

Samuel Grushevsky, Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过显式周期矩阵参数化与退化数据分析，在三性亏格的双曲椭圆阿贝尔簇的模空间中构造了无穷多条希米勒曲线。证明了该模空间中任意非完备的库加曲线必须以特定的 $\sigma_{1+1}$ 类型退化，且其各分量增长阶数相等；并表明这些曲线在阿贝尔三倍的模空间中并非完备的。

ABSTRACT

We construct an infinite number of Shimura curves contained in the locus of hyperelliptic Jacobians of genus 3. In the opposite direction, we show that in genus 3 the only possible non-complete (in the moduli space of abelian threefolds) Kuga curves contained in the hyperelliptic locus have the same degeneration data as that of the examples we construct. The locus of genus 3 hyperelliptic Jacobians is a divisor within the moduli space of principally polarized abelian threefolds, and our result demonstrates the techniques we develop more generally for dealing with Shimura curves contained within a divisor in the moduli space of abelian varieties.

研究动机与目标

• 研究三性亏格双曲椭圆阿贝尔簇模空间中希米勒曲线与库加曲线的存在性与结构。
• 确定非完备库加曲线在 $\mathcal{A}_3$ 的双曲椭圆模空间中必须具备的退化类型。
• 利用具有复参数的周期矩阵，显式构造双曲椭圆模空间中的希米勒曲线族。
• 证明在三性亏格阿贝尔簇的双曲椭圆模空间中存在无穷多条互不相同的希米勒曲线。
• 发展一般性技术，用于研究主极化阿贝尔簇模空间中除子内的希米勒曲线。

提出的方法

• 使用形如 $\Pi_u(t) = \begin{pmatrix} t + iu^2 & u^2/2 & iu \\ u^2/2 & t & u \\ iu & u & i \end{pmatrix}$ 的周期矩阵，其中 $t \in \mathbb{H}$ 且 $u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$，来参数化阿贝尔三倍族。
• 通过辛矩阵 $B_D$、$B_H$、$S$ 和 $S_3$ 的基变换，对同调与微分形式上的单值群作用进行对角化。
• 利用塔罗尔紧化 $\overline{\mathcal{A}_g}$ 分析模形式与周期矩阵的退化行为。
• 通过如 $S_3 D (B_H^{-1})^T$ 这类矩阵表示的阿贝尔簇之间与雅可比簇之间的同源关系，关联不同同源类中的周期矩阵。
• 通过对换位 $T_0T^3$ 分析亏格 2 曲线族 $Y_s$ 的商族，利用 [BL04] 中已知的 II 型曲线周期矩阵。
• 复合辛矩阵 $C_1$ 与 $C_2$，将周期矩阵变换为验证希米勒曲线结构所必需的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 非完备库加曲线在三性亏格双曲椭圆模空间中一般可能的退化类型为何？
• RQ2 是否可在 $\mathcal{A}_3$ 的双曲椭圆模空间中显式构造出无穷多条互不相同的希米勒曲线？
• RQ3 此类曲线的周期矩阵在辛基变换与单值群作用下如何行为？
• RQ4 复乘法与 CM 点在这些希米勒曲线构造中起何作用？
• RQ5 这些曲线在形变下能保持多大程度的稳定性？同源关系如何关联其周期矩阵？

主要发现

• 任何在 $\mathcal{A}_3$ 中一般位于双曲椭圆模空间的非完备库加曲线，必须以 $\sigma_{1+1}$ 类型退化，且各分量增长阶数相等，其周期矩阵形式为 $\begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + M$。
• 对任意 $u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$，族 $\Pi_u(t)$ 定义了一条希米勒曲线，其一般点位于双曲椭圆模空间 $\mathrm{Hyp}_3$ 中。
• 在 $\mathrm{Hyp}_3$ 中存在无穷多条互不相同的希米勒曲线，如命题 7.4 所证。
• 当 $u = \frac{1+i}{2}$ 时，该希米勒曲线同构于 Moonen-Oort 列表中的已知例子，对应于自同构群为 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 的双曲椭圆曲线。
• 族 $X_s$ 的周期矩阵经辛矩阵变换后，符合引理 4.3 所需形式，从而确认了希米勒曲线结构。
• 从 $X_{1/2}$ 的雅可比簇到具有周期矩阵 $\begin{pmatrix} Z_2 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ 的乘积阿贝尔簇的同源映射为 $S_3 D (B_H^{-1})^T$，其中 $D = \mathrm{diag}(1,1,1,2,1,1)$。