[论文解读] Sigma-convergence for thin heterogeneous domains and application to the upscaling of Darcy-Lapwood-Brinkmann flow

Willi Jäger, Jean Louis Woukeng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2023

Advanced Mathematical Modeling in EngineeringComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文将sigma-收敛方法推广至具有通用微观结构（周期性、几乎周期性或确定性）的薄非均匀域，实现了Darcy-Lapwood-Brinkmann流的多尺度化。通过均值代数方法证明了紧致性结果，并推导出有效二维模型：低渗透率情形下为Darcy定律，高渗透率情形下为Hele-Shaw型行为。

ABSTRACT

The sigma-convergence concept has been up to now used to derive macroscopic models in full space dimensions. In this work, we generalize it to thin heterogeneous domains given rise to phenomena in lower space dimensions. More precisely, we provide a new approach of the sigma-convergence method that is suitable for the study of phenomena occurring in thin heterogeneous media. This is made through a systematic study of the sigma-convergence method for thin heterogeneous domains. Assuming that the thin heterogeneous layer is made of microstructures that are distributed inside in a deterministic way including as special cases the periodic and the almost periodic distributions, we make use of the concept of algebras with mean value to state and prove the main compactness results. As an illustration, we upscale a Darcy-Lapwood-Brinkmann micro-model for thin flow. We prove that, according to the magnitude of the permeability of the porous domain, we obtain as effective models, the Darcy law in lower dimensions. The effective models are derived through the solvability of either the local Stokes-Brinkmann problems or the local Hele-Shaw problems.

研究动机与目标

• 为具有非周期性微观结构的薄非均匀域中的sigma-收敛建立严格的数学框架。
• 解决在微结构以确定性方式分布而非仅周期性分布的薄域中紧致性分析的挑战。
• 利用均值代数方法将多尺度化技术推广至薄层中的低维有效模型。
• 将该框架应用于薄多孔层中Darcy-Lapwood-Brinkmann系统的多尺度化。
• 根据渗透率的标度推导出依赖于不同情形的有效模型，区分Darcy与Hele-Shaw行为。

提出的方法

• 为薄域 $G_\varepsilon = G_1 \times \varepsilon G_2$（其中 $G_1 \subset \mathbb{R}^{d_1}$, $G_2 \subset \mathbb{R}^{d_2}$, 且 $\varepsilon \to 0$）提出新的sigma-收敛框架。
• 在 $\mathbb{R}^{d_1}$ 上使用具有均值的代数 $\mathcal{A}$ 描述包括几乎周期性和渐近周期性分布在内的通用微观结构。
• 通过广义Besicovitch空间 $\mathcal{B}_{\mathcal{A}}^{p}(\mathbb{R}^{d_1}; L^p(G_2))$ 和均值算子 $M$ 建立紧致性。
• 将该方法应用于 $\Omega^\varepsilon = \Omega \times (-\varepsilon, \varepsilon)$ 中的Darcy-Lapwood-Brinkmann系统，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{d-1}$。
• 利用弱 $\Sigma_{\mathcal{A}}$-收敛性在变分形式中取极限，识别出有效方程。
• 在 $y$-变量（横向方向）中求解局部细胞问题，以推导有效系数，并区分Darcy与Hele-Shaw行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将sigma-收敛推广至具有非周期性微观结构的薄非均匀域？
• RQ2 当微结构由具有均值的代数描述时，在薄域中序列的紧致性结果为何？
• RQ3 当渗透率按 $O(\varepsilon^2)$ 标度时，Darcy-Lapwood-Brinkmann系统在薄层中的有效宏观模型为何？
• RQ4 当渗透率标度快于 $\varepsilon^2$ 时，即主导为粘性或压力驱动流时，可获得何种有效模型？
• RQ5 在通用具有均值的代数框架下，局部细胞问题是否总可解，还是需要额外的结构假设？

主要发现

• 证明了一个新的紧致性结果：对满足 $\varepsilon^{-d_2/p}\|u_\varepsilon\|_{L^p(G_\varepsilon)} \leq C$ 的序列 $u_\varepsilon$ 在 $L^p(G_\varepsilon)$ 中，存在子列使得 $\varepsilon^{-d_2}\int_{G_\varepsilon} u_\varepsilon f(x/\varepsilon) dx \to \int_{G_0} \int_{G_2} M(u_0(\cdot, \cdot, \zeta) f(\cdot, \cdot, \zeta)) d\zeta d\overline{x}$。
• 当 $K_\varepsilon = O(\varepsilon^2)$ 且 $K_\varepsilon / \varepsilon^2 \to K \in (0, \infty)$ 时，归一化速度 $\mathbf{u}_\varepsilon / \varepsilon^2$ 弱 $\Sigma_{\mathcal{A}}$-收敛于 $\mathbf{u}_0$，且极限域 $\Sigma = \Omega \times \{0\}$ 中的有效模型为Darcy定律。
• 在 $K_\varepsilon >> \varepsilon^2$ 的情形下，有效压力 $p_0$ 与横向变量 $\zeta$ 无关，极限系统退化为 $\overline{x}$-平面上的Hele-Shaw型问题。
• 有效速度 $\mathbf{u}^\prime$ 通过对 $\mathbf{u}_0$ 沿横向方向取平均得到，且在极限中 $u_d = 0$。
• 局部问题 $-\mathrm{div}_y(A\nabla_y \mathbf{w}_j) + \overline{\nabla}_y \pi_j = e_j$ 在 $\mathbb{R}^{d-1} \times I$ 中在一般具有均值的代数中并非总可解，但在 $\mathcal{A} = \mathcal{C}_{\text{per}}(Y')$ 或 $\mathcal{C}_{\text{per}}(Y') + \mathcal{C}_0(\mathbb{R}^{d-1})$ 情形下可解。
• 有效压力 $p_0$ 满足 $\nabla_{\overline{x}} p_0 = \int_{-1}^1 M(\boldsymbol{f}_1 - A\nabla_y \mathbf{u}_1) d\zeta$，将宏观压力与微观流动联系起来。