[论文解读] Simplicial nerve of an A-infinity category

Giovanni Faonte|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文引入了 $τ$-范畴的单纯同伦构造，证明其在 Lurie 意义下产生一个 $∞$-范畴。该构造推广了微分分次范畴的 dg-同伦构造，并确立了预三角 dg-范畴通过此同伦构造可导出稳定 $∞$-范畴，且该同伦构造的同伦范畴与原范畴的 0 次上同调范畴同构。

ABSTRACT

In this paper we introduce a functor, called the simplicial nerve of an A-infinity category, defined on the category of (small) A-infinity categories with values in simplicial sets. We prove that the simplicial nerve of any A-infinity category is an infinity category. This construction extends functorially the nerve construction for differential graded categories proposed by J.Lurie in Higher Algebra. We prove that if a differential graded category is pretriangulated in the sense of A.I.Bondal-M.Kapranov, then its nerve is a stable infinity category in the sense of J.Lurie.

研究动机与目标

• 定义从 $τ$-范畴到单纯集的单纯同伦函子。
• 证明任意 $τ$-范畴的同伦构造在 Lurie 意义下是一个 $∞$-范畴。
• 推广微分分次范畴的小型 dg-同伦构造，并将其与 Lurie 的 dg-同伦构造关联。
• 通过同伦构造建立预三角 dg-范畴与稳定 $∞$-范畴之间的对应关系。
• 将同伦构造的同伦范畴与原始 dg-范畴的 0 次上同调范畴识别为同构。

提出的方法

• 定义由标准单纯形生成的余单纯 $τ$-范畴 $τ[Δ^{-}]$。
• 将单纯同伦构造为从 $τ[Δ^{-}]$ 到任意 $τ$-范畴 $τ$ 的 $τ$-函子，从而生成一个单纯集。
• 利用 Dold-Kan 对应关系，将态射的链复形与大号 dg-同伦构造中的单纯集关联。
• 比较小号与大号 dg-同伦构造，证明二者作为 $∞$-范畴是等价的。
• 通过分析同伦极限与锥构造，证明预三角 dg-范畴的同伦构造是一个稳定 $∞$-范畴。
• 建立态射的链复形与同伦纤维之间的拟同构，证明其与锥和移位操作相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 $τ$-范畴的单纯同伦构造是否产生一个 $∞$-范畴？
• RQ2 $τ$-范畴的单纯同伦构造与小号和大号 dg-同伦构造有何关系？
• RQ3 预三角 dg-范畴的同伦构造是否为一个稳定 $∞$-范畴？
• RQ4 能否将同伦构造的同伦范畴识别为原始 dg-范畴的 0 次上同调范畴？
• RQ5 在预三角 dg-范畴的同伦构造中，共Cartesian 与 Cartesian 图形是否等价？

主要发现

• 任意 $τ$-范畴的单纯同伦构造在 Lurie 意义下是一个 $∞$-范畴。
• 该构造推广了小号 dg-同伦构造，并在 dg-范畴情形下恢复了 Lurie 的 dg-同伦构造。
• 预三角 dg-范畴的同伦构造是一个稳定 $∞$-范畴。
• 同伦构造的同伦范畴与原始 dg-范畴的 0 次上同调范畴同构。
• 在预三角 dg-范畴的同伦构造中，共Cartesian 与 Cartesian 图形重合，反映了稳定性。
• 同伦构造保持函子锥结构，并通过链复形的拟同构在映射空间上诱导同伦等价。