[论文解读] Simplicial spaces, lax algebras and the 2-Segal condition

Mark D Penney|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文证明了在有限单纯集的∞-范畴中，标准1-单形Δ[1]在双 spans的(∞,2)-范畴中具有弱代数结构，且单纯对象的2-塞加尔条件等价于该弱代数的结合性。作为推论，任意2-塞加尔对象的1-单形继承了弱代数结构，且2-塞加尔条件确保该结构成为真正的代数对象。

ABSTRACT

Dyckerhoff--Kapranov and Gálvez-Carrillo--Kock--Tonks independently introduced the notion of a $2$-Segal space, that is, a simplicial space satisfying $2$-dimensional analogues of the Segal conditions, as a unifying framework for understanding the numerous Hall algebra-like constructions appearing in algebraic geometry, representation theory and combinatorics. In particular, they showed that every $2$-Segal object defines an algebra object in the $\infty$-category of spans. In this paper we show that this algebra structure is inherited from the initial simplicial object $Δ[\bullet]$. Namely, we show that the standard $1$-simplex $Δ[1]$ carries a lax algebra structure. As a formal consequence the space of $1$-simplices of a simplicial space is also a lax algebra. We further show that the $2$-Segal conditions are equivalent to the associativity of this lax algebra.

研究动机与目标

• 阐明2-塞加尔空间所编码的代数结构在双 spans的(∞,2)-范畴中的范畴起源，以弱代数形式表达。
• 证明在具有有限极限的∞-范畴中，初始单纯对象Δ[•]在其1-单形上诱导出弱代数结构。
• 确立2-塞加尔条件与该弱代数结构结合性的等价性。
• 在任意具有有限极限的∞-范畴中，提供一种通用且与模型无关的构造方法，用于从2-塞加尔对象生成与张量范畴相关的代数对象。
• 为后续工作中利用2-塞加尔空间构造高阶范畴的双代数奠定基础。

提出的方法

• 通过未拉直化构造，使用对称单子的弱函子在对称单子的(∞,2)-范畴中定义弱代数。
• 构建( Fin_Δ )^op中双 spans的(∞,2)-范畴，证明其为半严格的，适合编码弱代数结构。
• 在∞-范畴的双 spans中，为标准1-单形Δ[1]配备一个乘法μ，形成具有非可逆结合子2-态射的弱代数。
• 通过右凯南扩张，将Δ[1]上的弱代数结构提升至任意具有有限极限的∞-范畴中的单纯对象X_•。
• 通过单纯集中的上积论证，证明2-塞加尔条件等价于X_1上诱导的弱代数的结合性。
• 通过沿骨架边重复上积，验证自然态射α(p₂)∐α(X₁)α(p₁) → α(p₂p₁)在X_•下被映射为等价态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在与2-塞加尔对象相关的∞-范畴张量范畴中，其代数结构如何从范畴角度产生？
• RQ2 初始单纯对象Δ[•]在生成2-塞加尔空间的代数结构中扮演何种角色？
• RQ3 2-塞加尔条件能否被表征为弱代数结构上的相干性条件？
• RQ4 2-塞加尔对象的1-单形上的弱代数结构是否在所有具有有限极限的∞-范畴中都是典范且函子性的？
• RQ5 未拉直化构造如何促进在(∞,2)-范畴设定中定义弱函子与弱代数？

主要发现

• 标准1-单形Δ[1]在( Fin_Δ )^op的双 spans的(∞,2)-范畴中具有典范的弱代数结构。
• 单纯对象X_•的2-塞加尔条件等价于X_1上弱代数结构的结合性。
• X_1上的弱代数结构通过沿函子X: ( Fin_Δ )^op → C的右凯南扩张，从Δ[1]自然继承而来。
• 该构造提供了一种通用且与模型无关的机制，用于从2-塞加尔对象生成∞-范畴张量范畴中的代数对象。
• 证明依赖于显示自然态射α(p₂)∐α(X₁)α(p₁) → α(p₂p₁)在X_•下被映射为等价态射，通过沿骨架边重复上积实现。
• 该结果在具有有限极限的∞-范畴的最一般设定下，推广了Dyckerhoff–Kapranov与Gálvez-Carrillo–Kock–Tonks的先前构造。