[论文解读] Simulating quantum circuit expectation values by Clifford perturbation theory

Tomislav Begušić, Kasra Hejazi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种微扰方法，通过基于 Clifford 的海森堡绘景演化，高效近似近 Clifford 量子线路中的期望值。通过将可观测量的演化按非 Clifford 旋转角的幂次展开并截断级数，该方法在计算成本极低的情况下实现了高精度，相比基于采样的方法快几个数量级，从而实现了对噪声 Clifford 线路的可扩展模拟。

ABSTRACT

The classical simulation of quantum circuits is of central importance for benchmarking near-term quantum devices. The fact that gates belonging to the Clifford group can be simulated efficiently on classical computers has motivated a range of methods that scale exponentially only in the number of non-Clifford gates. Here, we consider the expectation value problem for circuits composed of Clifford gates and non-Clifford Pauli rotations, and introduce a heuristic perturbative approach based on the truncation of the exponentially growing sum of Pauli terms in the Heisenberg picture. Numerical results are shown on a Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) benchmark for the E3LIN2 problem and we also demonstrate how this method can be used to quantify coherent and incoherent errors of local observables in Clifford circuits. Our results indicate that this systematically improvable perturbative method offers a viable alternative to exact methods for approximating expectation values of large near-Clifford circuits.

研究动机与目标

• 开发一种可系统性改进的经典模拟方法，用于量子线路期望值，其计算复杂度随非 Clifford 门数量的增加而高效增长。
• 为变分量子算法（如 QAOA 和 VQE）中精确模拟不可行的情况，实现对期望值的快速且精确的近似。
• 将该方法扩展至以极低开销建模 Clifford 线路中的相干与非相干误差。
• 为大规模近 Clifford 线路提供一种实用的替代方案，以替代精确或基于采样的方法。

提出的方法

• 该方法使用海森堡绘景，将泡利可观测量通过一系列 Clifford 门和非 Clifford 泡利旋转演化，通过微扰展开追踪泡利项的增长。
• 将演化建模为非 Clifford 角度 θ 的多项式，其中每一项对应泡利项扩散的特定阶次，系数包含 (sin(θ)/2) 的幂次。
• 经过 N 个门后，第 k 阶泡利项的数量由 M^(k) = 2^(-k) * C(N,k) 给出，最坏情况下平均缩放为 (3/2)^N。
• 通过在有限阶数 K 处截断微扰级数，控制计算成本，同时通过相对误差界 δ 保持精度。
• 通过将误差概率 λ 或 s 的幂次作为权重，将误差通道（如比特翻转、相位翻转、振幅阻尼）纳入为微扰修正项。
• 在海森堡绘景中，泡利通道通过符号翻转和缩放因子高效模拟，无需在可观测量演化之外引入额外项。

Figure 1: (a) QAOA cost function ( 11 ) for the E3LIN2 problem with $n=50$ qubits and $D=4$ . Only positive values of $\gamma$ are shown because of the symmetry relation $C(-\gamma)=-C(\gamma)$ . (b) Histogram over 100 runs of the maximum order $K$ with a nonzero contribution to the cost function (

实验结果

研究问题

• RQ1 在非 Clifford 门角度上的微扰展开能否提供一种系统性可改进且高效的量子线路期望值近似方法？
• RQ2 微扰级数的截断阶数 K 如何影响具有不同数量非 Clifford 门的电路的精度与计算成本？
• RQ3 该方法在速度和精度方面能否显著优于基于采样的方法，特别是在近 Clifford 电路中，尤其是在变分量子算法中？
• RQ4 该方法在不引入显著计算开销的前提下，能在多大程度上建模 Clifford 电路中的相干与非相干误差？

主要发现

• 该方法在低阶微扰截断下即可实现高精度，表明即使使用二阶或三阶近似，也能为最多含 20 个非 Clifford 门的电路提供可靠的期望值。
• 在 E3LIN2 问题的 QAOA 基准测试中，该微扰方法的期望值计算速度比基于采样的方法快达 1000 倍。
• 相对误差 δ 受到类似二项式级数 ∑_{k=K+1}^N |sin(θ)/2|^k * C(N,k) 尾部的限制，从而可对给定 δ 所需的截断阶数 K 进行解析估计。
• 当 θ = 0.2 rad 且 δ = 0.01 时，所需微扰阶数 K 随 N 增大而缓慢增长，表明该方法在实际电路中具有有利的缩放特性。
• 通过将误差概率作为微扰展开中的小参数，可极低成本地模拟非相干误差（如比特翻转、相位翻转、振幅阻尼）。
• 由于在海森堡绘景中结构清晰，相位阻尼和泡利通道的模拟可无需额外计算成本，仅依赖于可观测量演化本身。

Figure 2: $\langle Z_{1}Z_{26}\rangle$ evaluated for a Clifford circuit defined by Eqs. ( 12 )–( 14 ) with $n=50$ qubits, $p=4$ , and a coherent error defined by $\delta\theta$ (see text). (a) Expectation value as a function of $\delta\theta$ for several perturbation orders $K$ ; (b, c) error in the