[论文解读] Size-dependent couple stress Timoshenko beam theory

Ali R. Hadjesfandiari, Arezoo Hajesfandiari+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文基于一致的偶应力理论，发展了一种尺寸相关的Timoshenko梁理论，以捕捉小尺度梁中的微尺度效应。通过推导控制方程和边界条件，作者解析求解了纯弯曲和悬臂梁问题，结果与二维有限元模拟高度一致，从而验证了该模型在预测小尺度下尺寸相关力学行为方面的准确性。

ABSTRACT

In this paper, a new size-dependent Timoshenko beam model is developed based on the consistent couple stress theory. In the present formulation, the governing equations and corresponding boundary conditions are obtained. Afterwards, this formulation is used to investigate size-dependency for several elementary beam problems. Analytical solutions are obtained for pure bending of a beam and for a cantilever beam with partially and fully clamped boundary conditions. These analytical results are then compared to the numerical results from a two-dimensional finite element formulation for the corresponding couple stress continuum problem.

研究动机与目标

• 开发一种一致的尺寸相关梁理论，以捕捉小梁中的微尺度效应。
• 基于一致的偶应力理论，制定控制方程和边界条件。
• 分析经典梁问题（如纯弯曲和固支梁）中的尺寸相关行为。
• 将解析模型与偶应力连续体的二维有限元模拟进行对比，以验证其准确性。

提出的方法

• 基于一致偶应力理论，构建具有尺寸相关效应的Timoshenko梁模型。
• 从变分原理出发，推导控制偏微分方程及其相应的边界条件。
• 针对具有部分或完全固支端部的纯弯曲和悬臂梁构型，进行解析求解。
• 实现二维有限元格式，模拟相同的偶应力连续体问题，以供对比。
• 运用虚功原理和一致的运动学假设，确保热力学一致性。
• 将解析结果与FEM模拟结果对比，以验证梁模型的准确性及其对尺寸相关行为的预测能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小尺度下，引入与微结构相关的偶应力效应如何改变Timoshenko梁的挠度和应力分布？
• RQ2 所提出的梁理论能否准确预测经典梁构型（如纯弯曲和悬臂梁）中的尺寸相关行为？
• RQ3 该梁模型的解析解与底层偶应力连续体的二维有限元模拟之间的一致性水平如何？
• RQ4 所推导的边界条件在多大程度上影响尺寸相关梁模型的准确性？
• RQ5 该梁模型在多大程度上能够捕捉微米和纳米尺度梁中观测到的尺度效应？

主要发现

• 纯弯曲和悬臂梁的解析解与二维有限元结果高度一致，验证了所提梁模型的可靠性。
• 尺寸相关行为被清晰捕捉，由于偶应力效应，在更小尺度下表现出更刚硬的响应。
• 所推导的边界条件与变分公式一致，并正确反映了微结构的影响。
• 即使在简单加载情况下，该模型也能成功预测尺寸效应，证明其在微尺度梁设计中的适用性。
• 对比结果表明，经典Timoshenko梁理论在小尺度下低估了刚度，而所提模型有效纠正了这一缺陷。
• 一致的偶应力公式确保了热力学一致性，避免了梁理论中的非物理解释假设。