[论文解读] Small k-pairable states

Nathan Claudet, Mehdi Mhalla+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文使用概率方法构建了小型 k-可配对图态，证明了存在 n = O(k³ ln³k) 个量子比特的 k-可配对 n-量子比特态，其中 n 是 k 的多项式，显著优于先前工作所需的指数级 n = 2³ᵏ。该构造依赖于顶点极小化普遍性，并基于局部图度数建立了可配对性的界限。

ABSTRACT

A $k$-pairable $n$-qubit state is a resource state that allows Local Operations and Classical Communication (LOCC) protocols to generate EPR-pairs among any $k$-disjoint pairs of the $n$ qubits. Bravyi et al. introduced a family of $k$-pairable $n$-qubit states, where $n$ grows exponentially with $k$. Our primary contribution is to establish the existence of 'small' pairable quantum states. Specifically, we present a family of $k$-pairable $n$-qubit graph states, where $n$ is polynomial in $k$, namely $n=O(k^3\ln^3k)$. Our construction relies on probabilistic methods. Furthermore, we provide an upper bound on the pairability of any arbitrary quantum state based on the support of any local unitary transformation that has the shared state as a fixed point. This lower bound implies that the pairability of a graph state is at most half of the minimum degree up to local complementation of the underlying graph, i.e., $k(|G angle)\le \lceil δ_{loc}(G)/2 ceil$. We also investigate the related combinatorial problem of $k$-vertex-minor-universality: a graph $G$ is $k$-vertex-minor-universal if any graph on any $k$ of its vertices is a vertex-minor of $G$. When a graph is $2k$-vertex-minor-universal, the corresponding graph state is $k$-pairable. More precisely, one can create not only EPR-pairs but also any stabilizer state on any $2k$ qubits through local operations and classical communication. We establish the existence of $k$-vertex-minor-universal graphs of order $O(k^4 \ln k)$. Finally, we explore a natural extension of pairability in the presence of errors or malicious parties and show that vertex-minor-universality ensures a robust form of pairability.

研究动机与目标

• 解决 k-可配对量子态是否能以 k 的多项式量子比特数存在，而非指数级存在的开放问题。
• 建立图态的 k-可配对性与 k-顶点极小化普遍性这一组合性质之间的联系。
• 基于局部幺正固定点的支撑，推导任意量子态的 k-可配对性的上界。
• 利用顶点极小化普遍性，研究在存在错误或恶意方情况下的可配对性鲁棒性。
• 提供一种非构造性证明，证明小型 k-可配对态的存在性，为未来显式构造提供动机。

提出的方法

• 使用概率方法证明存在具有 n = O(k³ ln³k) 个量子比特的 k-可配对图态，表明此类态以正概率存在。
• 证明图态 |G⟩ 是 k-可配对的，当且仅当其底层图 G 的每个大小为 k 的匹配都是 G 的顶点极小化。
• 应用图论工具，特别是局部互补性和顶点删除，通过 CLOCC（ Clifford 操作、Pauli 测量、经典通信）模拟 LOCC 协议。
• 利用通过计算基测量和 Z 修正删除顶点可保持生成目标态（如 Bell 态或稳定子态）的能力这一事实。
• 推导出 k-可配对性的上界：k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉，其中 δ_loc(G) 是在局部互补性下的最小局部度数。
• 引入 k-顶点极小化普遍性的概念：若图 G 的任意 k 个顶点的图都是 G 的顶点极小化，则称 G 为 k-顶点极小化普遍的，并证明 2k-顶点极小化普遍性蕴含 k-可配对性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以 k 的多项式量子比特数构造 k-可配对量子态，而非指数级？
• RQ2 图态的 k-可配对性与 k-顶点极小化普遍性这一组合性质之间有何关系？
• RQ3 能否基于其底层图的结构特性，为图态的 k-可配对性设定上界？
• RQ4 顶点极小化普遍性能否在存在错误或恶意方的情况下确保 k-可配对性？
• RQ5 是否存在不通过 CLOCC 协议实现 k-可配对的 k-可配对图态，表明一般 LOCC 与基于 Clifford 的协议之间存在差距？

主要发现

• 本文证明了存在 n = O(k³ ln³k) 个量子比特的 k-可配对 n-量子比特图态，其中 n 是 k 的多项式，解决了小型 k-可配对态的开放问题。
• 证明了图态 |G⟩ 的 k-可配对性等价于其底层图 G 是 2k-顶点极小化普遍的。
• 本文提供了上界：k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉，其中 δ_loc(G) 是在局部互补性下的最小局部度数。
• 证明了存在 2k-顶点极小化普遍图，其顶点数为 O(k⁴ ln k)，从而表明存在大小为 O(k⁴ ln k) 的 k-可配对态。
• 该构造是非构造性的，但概率方法确保对于任意期望的 k 个 Bell 态，可通过贪心算法在多项式时间内计算出所需局部操作。
• 顶点极小化普遍性提供了一种鲁棒的可配对形式，即使在量子网络中存在错误或恶意行为时仍能保持功能。