[论文解读] Smaller Circuits for Arbitrary n-qubit Diagonal Computations

Stephen S. Bullock, Igor L. Markov|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于任意n量子比特对角酉矩阵的递归构造性量子电路合成算法，实现了渐近最优的门控数量，精确包含$2^{n+1} - 3$个受控-非门（CNOT）和单量子比特$R_z$旋转。与先前方法相比，该方法将电路规模减少了高达两倍，并在目标为单量子比特$R_z$门张量积时实现了精确抵消。

ABSTRACT

A unitary operator U=\sum u_{j,k} |k> ; 0 <= j <= 2^n-1}. These relative phases are often required in applications. Constructing quantum circuits for diagonal computations using standard techniques requires either O(n^2 2^n) controlled-not gates and one-qubit Bloch sphere rotations or else O (n 2^n) such gates and a work qubit. This work provides a recursive, constructive procedure which inputs the matrix coefficients of U and outputs such a diagram containing 2^{n+1}-3 alternating controlled-not gates and one-qubit z-axis Bloch sphere rotations. Up to a factor of two, these circuits are the smallest possible. Moreover, should the computation U be a tensor of diagonal one-qubit computations of the form R_z(α)=e^{-i α/2}|0><0|+ e^{i α/2} |1><1|, then a cancellation of controlled-not gates reduces our circuit to that of an n-qubit tensor.

研究动机与目标

• 开发一种用于任意n量子比特对角酉矩阵的电路合成算法，实现渐近最优的门控数量。
• 最小化实现对角操作的量子电路中受控-非门（CNOT）和单量子比特旋转的数量。
• 提供一种递归的、构造性的方法，输入矩阵系数并输出具有可证明最小门控数量的量子电路图。
• 在目标酉矩阵为单量子比特$R_z$门张量积时，实现CNOT门的精确抵消。
• 建立理论界限，表明所构造的电路大小在理论最小值的两倍因子以内。

提出的方法

• 该算法基于一种基于基变换的递归分解方法，转换到由量子比特索引子集$S_j$定义的新基态$v_j$。
• 定义了一个矩阵$\mathbf{\eta}^\Lambda$，将对角酉矩阵的相位向量$\vec{\psi}$映射到$R_z$门角度向量$\vec{\alpha}$。
• $\mathbf{\eta}^\Lambda$的逆矩阵仅需计算一次并在多个电路中重复使用，从而实现对任意对角酉矩阵的高效合成。
• 按顺序应用受控-$R_z$门$\Lambda_{S_j}[R_z(\alpha_j)]$，将输入酉矩阵变换为更小的对角矩阵的张量积。
• 所得酉矩阵$\tilde{U}$是两个$n-1$量子比特对角矩阵的张量积，从而支持递归电路合成。
• 通过以相反顺序应用$R_z$门和CNOT门的逆序列来构建最终电路，利用酉不变性确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意n量子比特对角酉矩阵构造一种递归量子电路合成算法，实现渐近最优的门控数量？
• RQ2 实现任意n量子比特对角酉矩阵所需的最少CNOT门数量是多少？该界限是否可达到？
• RQ3 在何种条件下CNOT门可在电路中抵消？如何利用这一特性减少电路深度和规模？
• RQ4 如何通过受控-$R_z$操作将对角酉矩阵的相位结构转换为张量积形式？
• RQ5 所提出的电路构造在参数变化下是否稳定？在对角酉群内复合运算下是否封闭？

主要发现

• 该算法构造的电路精确包含$2^{n+1} - 3$个交替的CNOT门和$n$个单量子比特$R_z$旋转，实现了渐近最优性，误差因子为两倍。
• 门控数量是最优的，因为对于一般对角酉矩阵，任何电路的CNOT门数量均不能少于$\Omega(2^n)$。
• 当目标酉矩阵为单量子比特$R_z$门张量积时，CNOT门完全抵消，输出电路与输入完全一致。
• $\mathbf{\eta}^\Lambda$矩阵可逆，确保每个对角酉矩阵均可唯一分解为一系列受控-$R_z$门和一个更小的对角酉矩阵的组合。
• 该算法具有稳定性：所有中间和最终电路在$R_z$和$R_y$门参数变化下仍保持在对角酉矩阵群内。
• 该构造是递归且通用的，适用于由其相位向量$\vec{\psi}$指定的任意$n$量子比特对角酉矩阵，并可重用逆矩阵$({\bf \eta}^\Lambda)^{-1}$。