[论文解读] $SO(3)$-Floer homology of 3-manifolds with boundary 1

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文通过 $A_{\infty}$-函子结构将规范理论的 Floer 同调与拉格朗日子流形的 Floer 同调联系起来，为具有边界的 3-流形建立了 $SO(3)$-Floer 同调框架。证明了非平凡 $SO(3)$-丛的相对 Floer 同调同构于其边界模空间的拉格朗日子流形 Floer 同调，从而实现了 $SO(3)$-丛且第二史蒂菲爾-惠特尼类非平凡时的阿蒂yah-Floer猜想的一个版本。

ABSTRACT

In this paper the author discuss the relation between Lagrangian Floer homology and Gauge-theory (Donaldson theory) Floer homology. It can be regarded as a version of Atiyah-Floer type conjecture in the case of $SO(3)$-bundle with non-trivial second Stiefel-Whitney class. This is a first of a series of papers, where we describe the main results and geometric and algebraic parts of the proof. The half of analytic detail was in [Fu5] which was published in 1998. The other half will appear in subsequent papers.

研究动机与目标

• 为具有边界的 3-流形建立规范理论 $SO(3)$-Floer 同调与拉格朗日子流形 Floer 同调之间的对应关系。
• 通过为浸入的拉格朗日子流形模空间构造一个典范的边界上链，解决 $SO(3)$-情形下 $w_2$ 非平凡时的阿蒂yah-Floer猜想。
• 将 Fukaya 与 Akaho-Joyce 的 $A_\infty$-函子框架推广至包含由平坦联络产生的奇异辛空间中的无阻碍浸入拉格朗日子流形。
• 用基于 cobordism 的方法替代困难的分析技术（如条带收缩或八字形泡分析），简化粘合同构的证明。

提出的方法

• 从具有边界的 3-流形到链复形范畴 $\mathscr{CH}$ 构造一个滤子化的 $A_\infty$-函子 $\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}: \mathscr{FUK}(R(\Sigma)) \to \mathscr{CH}$。
• 使用诺维科夫环 $\Lambda^{{\mathbb{Z}}_2}_0$ 处理由无限维模空间引起的系数问题，并定义带系数的 Floer 同调。
• 为浸入的拉格朗日子流形 $R(M) \subset R(\Sigma)$ 定义一个典范的边界上链 $b_M$，确保其在 FOOO 与 Akaho-Joyce 意义下的无阻碍性。
• 证明沿边界粘合两个 3-流形会诱导出相对 Floer 同调之间的链映射，该映射同构于相应边界拉格朗日子流形的拉格朗日 Floer 同调。
• 应用 cobordism 方法，避免对奇点（如八字形泡或绝热极限）进行分析。
• 利用 [Fu5] 中的单调性与紧致性定理，控制伪全纯曲线并确保 Floer 微分的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过拉格朗日子流形 Floer 理论构造，将阿蒂yah-Floer 猜想推广至 $SO(3)$-情形且 $w_2$-类非平凡？
• RQ2 具有边界的 3-流形上平坦联络的模空间作为边界模空间中的浸入拉格朗日子流形是否无阻碍？
• RQ3 沿公共边界粘合两个 3-流形是否诱导出规范理论与拉格朗日子流形 Floer 同调之间的典范同构？
• RQ4 能否用 cobordism 论证替代条带收缩与八字形泡的困难分析，且不失一般性？
• RQ5 为 $R(M)$ 构造的典范边界上链 $b_M$ 是否与选择无关，并在规范等价下保持不变？

主要发现

• 浸入的拉格朗日子流形 $R(M)$ 在 $R(\Sigma)$ 中无阻碍，且存在一个典范边界上链 $b_M$，其为规范不变量，仅依赖于对 $(M, \mathcal{E}_M)$。
• 对于粘合的 3-流形 $M = M_1 \cup_{-M_2} \Sigma$，存在典范同构 $HF(M,\mathcal{E};\Lambda_0^{{\mathbb{Z}}_2}) \cong HF((R(M_1),b_{M_1}),(R(M_2),b_{M_2}))$，从而确立了 $SO(3)$-阿蒂yah-Floer 猜想的一个版本。
• 当 $R(M)$ 嵌入到 $R(\Sigma)$ 中时，典范边界上链消失：$b_M = 0$，从而恢复经典拉格朗日 Floer 同调的设定。
• $A_\infty$-函子 $\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}$ 良好定义，其同伦类是 $(M, \mathcal{E}_M)$ 的不变量，为规范理论与辛拓扑之间提供了函子性联系。
• 证明通过使用 cobordism 论证避免了对八字形泡或绝热极限的直接分析，以单调性实现对分析困难的代数控制。
• 该构造与闭 3-流形中的标准 $SO(3)$-Floer 同调相容，并在 $M_1 = M_2 = \Sigma \times [0,1]$ 时恢复了 Dostoglou-Salamon 的结果。