[论文解读] Solving SAT and MaxSAT with a Quantum Annealer: Foundations, Encodings, and Preliminary Results

Zhengbing Bian, Fabián A. Chudak+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 68被引用 12

一句话总结

本文提出一种将布尔可满足性（SAT）和最大可满足性（MaxSAT）问题编码为与D-Wave量子退火设备兼容的伊辛哈密顿量的方法，采用基于SMT的编码与动态布线技术。该方法在2048量子比特的D-Wave 2000Q系统上实现了可行性验证，尽管使用了非精确的惩罚函数，但在某些困难的SAT和MaxSAT实例上仍表现出具有竞争力的性能。

ABSTRACT

Quantum annealers (QAs) are specialized quantum computers that minimize objective functions over discrete variables by physically exploiting quantum effects. Current QA platforms allow for the optimization of quadratic objectives defined over binary variables (qubits), also known as Ising problems. In the last decade, QA systems as implemented by D-Wave have scaled with Moore-like growth. Current architectures provide 2048 sparsely-connected qubits, and continued exponential growth is anticipated, together with increased connectivity. We explore the feasibility of such architectures for solving SAT and MaxSAT problems as QA systems scale. We develop techniques for effectively encoding SAT -and, with some limitations, MaxSAT- into Ising problems compatible with sparse QA architectures. We provide the theoretical foundations for this mapping, and present encoding techniques that combine offline Satisfiability and Optimization Modulo Theories with on-the-fly placement and routing. Preliminary empirical tests on a current generation 2048-qubit D-Wave system support the feasibility of the approach for certain SAT and MaxSAT problems.

研究动机与目标

• 探索利用当前及未来量子退火设备求解NP难的SAT和MaxSAT问题的可行性。
• 开发高效的编码技术，将布尔公式映射为适合稀疏、现实世界量子退火器架构（如D-Wave的Chimera拓扑）的伊辛问题。
• 结合离线SMT推理与实时量子比特布线和路由，以最小化嵌入开销并提升解的质量。
• 在真实量子硬件上评估编码流水线的性能，特别是在困难但可能可满足的SAT和MaxSAT实例上的表现。
• 识别并解决未来更互联的量子退火器拓扑结构中变量布线、惩罚函数设计与可扩展性的关键挑战。

提出的方法

• 使用可满足性逻辑模（SMT）生成精确的惩罚函数，将逻辑约束编码进伊辛哈密顿量。
• 采用两阶段编码：首先通过SMT推理将逻辑约束转换为惩罚函数；其次在运行时实时将变量布线并路由到量子硬件图上。
• 应用函数分解与基于链的编码方法，以管理大型布尔函数，减少所需量子比特数量并改善能量间隙。
• 对2-in-4 MaxSAT约束使用非精确惩罚函数，由于实例分布中的偏差，其在实践中仍表现良好。
• 通过变换 $ z_i = 2x_i - 1 $ 将伊辛问题映射为QUBO格式，实现与D-Wave原生硬件的兼容性。
• 采用混合方法，结合经典SMT求解与动态嵌入，以优化量子比特使用并最小化链断裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 SAT和MaxSAT问题能否被有效编码为适合当前D-Wave量子退火设备的伊辛哈密顿量？
• RQ2 在困难但可满足的SAT和MaxSAT实例上，量子退火的性能与经典求解器相比如何？
• RQ3 在实际量子退火应用中，非精确惩罚函数在多大程度上影响了解的质量？
• RQ4 在稀疏量子硬件图上嵌入大型布尔公式时，主要瓶颈是什么？
• RQ5 未来更互联的量子退火器拓扑结构（如Pegasus）将如何影响SAT/MaxSAT编码的效率与可扩展性？

主要发现

• 所提出的编码方法成功将SAT和MaxSAT问题映射为与2048量子比特D-Wave 2000Q系统兼容的伊辛问题。
• 初步实证结果表明，量子退火设备在某些情况下比经典求解器更快地找到特定困难SAT和MaxSAT实例的解。
• 尽管对2-in-4 MaxSAT约束使用了非精确惩罚函数，该方法在性能上表现良好，尤其在仅涉及低权重解的无偏实例中。
• 采用基于SMT的惩罚函数生成与动态布线，相比固定布线方法，显著提升了解的质量并减少了嵌入开销。
• 经典求解器在求解无偏MaxSAT实例时耗时更长，但D-Wave硬件在这些实例上表现更优，表明对非精确编码具有鲁棒性。
• 未来具有更高连通性的硬件（如Pegasus拓扑）预计将显著提升编码效率，并支持更大规模的问题实例。