[论文解读] Spectral Radii of Bounded Operators on Topological Vector Spaces

Vladimir G. Troitsky|ArXiv.org|Apr 8, 2000

Advanced Banach Space TheoryMathematics参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文为拓扑向量空间（TVS）上有界线性算子发展了一种广义谱理论，将谱半径的Gelfand公式和Neumann级数收敛性从巴拿赫空间推广至非巴拿赫设定。研究确立了谱半径和谱依赖于算子有界性类（nb, nn, bb等），在每一类中谱半径通过Gelfand公式定义，且当|λ|超过谱半径时Neumann级数收敛。

ABSTRACT

In this paper we develop a version of spectral theory for bounded linear operators on topological vector spaces. We show that the Gelfand formula for spectral radius and Neumann series can still be naturally interpreted for operators on topological vector spaces. Of course, the resulting theory has many similarities to the conventional spectral theory of bounded operators on Banach spaces, though there are several important differences. The main difference is that an operator on a topological vector space has several spectra and several spectral radii, which fit a well-organized pattern.

研究动机与目标

• 将经典谱理论——此前仅限于巴拿赫空间——推广至一般拓扑向量空间（TVS），其中标准工具如范数和完备性均不存在。
• 解决TVS上有界算子谱理论发展不足的问题，尤其针对不变子空间问题的应用。
• 基于TVS上算子的不同有界性类（nb, nn, bb, 连续, 线性）定义并分析多重谱和谱半径。
• 建立Neumann级数在TVS中收敛的条件，推广巴拿赫空间中的经典结果。
• 证明在序列完备的局部凸空间中，nb-有界算子和紧算子的谱半径等于几何谱半径。

提出的方法

• 引入TVS上有界算子的五种类别：nb-有界、nn-有界、bb-有界、连续和线性，构成嵌套层次结构。
• 将每种类别中算子的谱定义为使得λI − T在该类别内不可逆的λ的集合。
• 推广Gelfand公式：对每种类别，使用适配于该类别的算子半范数，定义谱半径r(T) = limₙ→∞ ||Tⁿ||^(1/n)。
• 利用混合半范数和由零邻域诱导的拓扑(X,U)来定义级数与预解式的收敛性。
• 当|λ| > r(T)时，在给定类别中应用Neumann级数∑ₙ₌₀^∞ Tⁿ/λⁿ⁺¹来定义预解算子R(λ;T)。
• 采用闭扩张论证和定义域的稠密性，将稠密子域上的预解与完备空间上全算子的预解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱半径的Gelfand公式能否从巴拿赫空间推广至一般拓扑向量空间上有界算子？
• RQ2 在TVS的不同有界性类背景下，多重谱和谱半径如何产生？
• RQ3 Neumann级数在拓扑向量空间中收敛的条件是什么，其与谱半径有何关联？
• RQ4 在TVS设定下，谱半径是否等于几何谱半径（即使得λI − T不可逆的|λ|的上确界）？
• RQ5 nb-有界算子和紧算子在序列完备的局部凸空间中谱半径是否一致？

主要发现

• 谱半径的Gelfand公式被推广至TVS上所有五种类别（nb, nn, bb, 连续, 线性）的有界算子。
• 对于序列完备的局部凸空间中的连续算子，若|λ| > r(T)于任一有界性类，则Neumann级数∑ₙ₌₀^∞ Tⁿ/λⁿ⁺¹在该类的拓扑中收敛，且λ不属于谱。
• 每种类别中的谱半径大于或等于几何谱半径，且对nb-有界算子和紧算子等号成立。
• 当T是其在稠密子域D上的限制的最小闭扩张时，预解算子R(λ;T)可从稠密定义域D扩展至全空间X。
• 对于定义在稠密子域D上的算子T，若λ属于T|D的nn-预解集，则λ属于T的预解集，前提是T为最小闭扩张。
• D上预解R(λ;T)的谱半径满足rₙb(R|D) ≤ r(R)，建立了不同类别间谱半径的联系。