[论文解读] Stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids in $\mathbb{R}^{n}$

Long Chen, Jun Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文提出两类在 $\times n$ 上的单纯形网格上用于线性弹性力学的稳定混合有限元方法，分别采用 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 和 $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ 空间对应力和位移进行离散，通过位移跳跃或 Breszi-Fortin-Marini 技术实现稳定化。关键贡献在于：对于 $1 \leq k \leq n$ 实现了最优收敛率，且自由度最少，其证明基于新型基于 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数的插值算子。

ABSTRACT

In this paper, we design two classes of stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids. In the first class of elements, we use $\boldsymbol{H}(\mathbf{div}, Ω; \mathbb{S})$-$P_k$ and $\boldsymbol{L}^2(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ to approximate the stress and displacement spaces, respectively, for $1\leq k\leq n$, and employ a stabilization technique in terms of the jump of the discrete displacement over the faces of the triangulation under consideration; in the second class of elements, we use $\boldsymbol{H}_0^1(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k}$ to approximate the displacement space for $1\leq k\leq n$, and adopt the stabilization technique suggested by Brezzi, Fortin, and Marini. We establish the discrete inf-sup conditions, and consequently present the a priori error analysis for them. The main ingredient for the analysis is two special interpolation operators, which can be constructed using a crucial $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ bubble function space of polynomials on each element. The feature of these methods is the low number of global degrees of freedom in the lowest order case. We present some numerical results to demonstrate the theoretical estimates.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^n$ 中的单纯形网格上，为线性弹性力学开发稳定的混合有限元方法，当标准的 $P_k$-$P_{k-1}$ 配对在 $k \leq n$ 时失效。
• 克服由于应力张量对称性约束，使用低阶多项式构造 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-符合有限元的困难。
• 在最低阶情形（$k=1$）中最小化全局自由度，同时保持最优收敛率。
• 为所提出的稳定化方法建立离散 inf-sup 条件和先验误差估计。

提出的方法

• 第一种方法采用 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 和 $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ 对应力和位移进行离散，通过控制单元面上离散位移的跳跃实现稳定化。
• 第二种方法采用 $\boldsymbol{H}_0^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_k$ 对位移进行离散，并应用 Breszi-Fortin-Marini 稳定化技术。
• 关键技术创新在于：在每个单元上利用 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数构造了两种特殊插值算子。
• 分析依赖于如下性质：$\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数空间的散度等于离散位移空间中分片刚体运动空间的正交补空间。
• 通过控制 $\boldsymbol{H}^1(\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 空间中的刚体运动分量，证明了离散 inf-sup 条件。
• 数值实验在 2D 和 3D 中验证了理论收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^n$ 中的单纯形网格上，对 $1 \leq k \leq n$ 的情形，对 $P_k$-$P_{k-1}$ 混合有限元对进行稳定化？
• RQ2 当标准符合元因对称性约束而失效时，如何为低阶混合方法建立离散 inf-sup 条件？
• RQ3 何种稳定化技术可确保在最低阶情形下实现最优收敛率且自由度最少？
• RQ4 能否利用 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数空间构造出保持关键离散性质的稳定插值算子？
• RQ5 所提出的方法是否在 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$ 和 $L^2$ 范数下，对应力和位移均实现 $O(h^k)$ 的最优收敛？

主要发现

• 所提出的稳定化 $P_k^\mathrm{div}$-$P_{k-1}^{-1}$ 方法在 2D 和 3D 中对应力和位移均实现了最优的 $O(h^k)$ 收敛率，数值实验已验证此结果。
• 对于 $P_k^\mathrm{div}$-$P_k^0$ 方法，在 2D 和 3D 中，应力在 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$-范数下和位移在 $L^2$-范数下均观察到 $O(h^k)$ 的最优收敛率。
• 通过基于 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数的新型插值算子，严格证明了两种稳定化方法的离散 inf-sup 条件。
• 即使在 $n$ 维空间中 $k=1$ 的情形，方法仍能实现最优收敛率，且相比高阶符合元，自由度显著减少。
• 表 2–8 中的数值结果表明，收敛阶与理论预测一致：在 2D 和 3D 中，$k=1,2$ 时均为 $O(h^k)$。
• 使用 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 坐标函数使得能够构造出对证明低阶情形下离散 inf-sup 条件至关重要的稳定插值算子。