[论文解读] Stackable and queueable permutations

Peter G. Doyle|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了可堆叠排列（避免312模式）与可排队排列（避免321模式）之间的自然双射，两者均由卡塔兰数 Cₙ 计数。该双射源于它们与无峰弱Dyck路径的共同对应关系，其中栈高度记录或队列长度记录唯一确定了每个排列；作者认为，这一双射——等价于西蒙和施密特1985年的结果——本可早在1968年克努斯《计算机程序设计艺术》第一卷出版后，由读者更早发现，若练习题未被标注难度，可能不会抑制对其他解释方式的探索。

ABSTRACT

There is a natural bijection between permutations obtainable using a stack (those avoiding the pattern 312) and permutations obtainable using a queue (those avoiding 321). This bijection is equivalent to one described by Simion and Schmidt in 1985. We argue that this bijection might well have been found back in 1968 by readers of volume 1 of Knuth's *The Art of Computer Programming*, if Knuth had not assigned difficulty ratings to his exercises.

研究动机与目标

• 识别并形式化通过栈获得的排列（避免312模式）与通过队列获得的排列（避免321模式）之间的自然双射。
• 证明该双射等价于西蒙和施密特1985年的构造，并自然源于其与无峰弱Dyck路径的共同对应关系。
• 论证该双射本可早在1968年被克努斯《计算机程序设计艺术》第一卷的读者发现，若练习题未被标注难度，可能不会抑制对其他解释方式的探索。

提出的方法

• 通过栈高度记录和队列长度记录分别表示可堆叠和可排队排列，二者均构成无峰弱Dyck路径。
• 利用无峰弱Dyck路径与可堆叠（或可排队）排列之间的唯一对应关系，定义两组排列之间的双射。
• 通过模拟栈生成排列的过程改用队列实现，或反之，构造双射，表明相同的路径结构可在另一模型中生成对应的排列。
• 定义幂等函数 'stackit' 和 'queueit'，分别基于其集合大小记录，将任意排列投影到可堆叠和可排队排列的集合上。
• 证明 'queueit' 限制在可堆叠排列上，可得到到可排队排列的双射，其逆映射为 'stackit' 限制在可排队排列上。
• 使用Robinson-Schensted对应关系和杨表作为历史替代路径以推导卡塔兰数，但本文更倾向于通过Dyck路径的直接路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 避免312模式（可堆叠）与避免321模式（可排队）排列之间的自然双射是什么？它与Dyck路径有何关系？
• RQ2 为何可堆叠与可排队排列的数量均为卡塔兰数 Cₙ？其背后的结构性特征是什么？
• RQ3 该双射本可更早于1968年由克努斯第一卷的读者发现吗？若是，为何未被发现？

主要发现

• 存在一个可堆叠排列（避免312模式）与可排队排列（避免321模式）之间的自然双射，两者均由卡塔兰数 Cₙ 计数。
• 该双射等价于西蒙和施密赫1985年提出的构造，并源于其与无峰弱Dyck路径的共同对应关系。
• 可堆叠排列的栈高度记录与可排队排列的队列长度记录均构成无峰弱Dyck路径，且每条此类路径在每一类中唯一对应一个排列。
• 该双射可通过用队列模拟栈操作来实现：若尝试用队列而非栈生成一个可堆叠排列，结果即为对应的可排队排列。
• 幂等函数 'stackit' 和 'queueit' 分别基于其集合大小记录，将任意排列投影到可堆叠与可排队排列的集合上，其限制构成互逆双射。
• 本文认为，克努斯1968年练习题的难度评级可能抑制了读者探索其他解释方式，从而可能延迟了该双射的发现。