[论文解读] Starlike Functions associated with a Petal Shaped Domain

S. Sivaprasad Kumar, Kush Arora|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Analytic and geometric function theoryMathematics参考文献 20被引用 19

一句话总结

本文引入了一类新的星象函数子类，记为 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$，其通过亚纯性关系定义于函数 $1 + \sinh^{-1}(z)$，该函数将单位圆盘映射到花瓣形区域。作者为该类及其相关函数族（包括 $\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$ 和 $\mathcal{F}_3$）建立了精确的半径结果，给出了使得对每个类中的函数 $f$，均有 $f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 的最大 $r$ 的确切值。

ABSTRACT

This paper deals with some radius results and inclusion relations that are established for functions in a newly defined subclass of starlike functions associated with a petal shaped domain.

研究动机与目标

• 定义并研究复平面上与花瓣形区域相关的星象函数新子类。
• 为新类 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 及其相关函数族建立精确的半径结果。
• 探讨亚纯于 $1 + \sinh^{-1}(z)$ 的函数的包含关系与几何性质。
• 推导各类函数族中 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径的精确值，并通过极值函数确保结果的精确性。

提出的方法

• 通过亚纯性关系定义类 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$：$\frac{zf'(z)}{f(z)} \prec 1 + \sinh^{-1}(z)$，其中 $1 + \sinh^{-1}(z)$ 将 $\mathbb{D}$ 映射为花瓣形区域。
• 利用已知的亚纯性方法及单位圆盘中解析函数的性质，推导 $zf'(z)/f(z)$ 的界。
• 应用引理 3.1，通过解析函数比值的实部，估计 $\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$ 和 $\mathcal{F}_3$ 中函数的 $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right|$。
• 构造极值函数，如 $f_0(z) = z(1+z^n)/(1-z^n)^2$ 和 $f_0(z) = z(1+z^n)^2/(1-z^n)$，以验证半径估计的精确性。
• 利用 $\sinh^{-1}(z)$ 的幂级数展开，推导出 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 的极值函数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$。
• 通过在单位圆边界上特定点（如 $z = R e^{i\pi/n}$）处达到等式，验证结果的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathcal{F}_1$ 类中的函数 $f$，使得 $f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 的精确半径值是多少？
• RQ2 对于 $\mathcal{F}_2$ 和 $\mathcal{F}_3$ 类，$\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 的半径估计如何变化？
• RQ3 $\mathcal{BS}^{*}(0)$ 类的精确 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径是多少？其与其它已知类相比如何？
• RQ4 能否使用极值函数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$ 实现 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 类中的精确边界？
• RQ5 通过指数变换，花瓣形类 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 与新月形类 $\Delta^{*}$ 之间是否存在函数关系？

主要发现

• 类 $\mathcal{F}_1$ 的精确 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径为 $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_1) = \left(\frac{\sqrt{4n^2 + (\sinh^{-1}(1))]^2} - 2n}{\sinh^{-1}(1)}\right)^{1/n}$。
• 类 $\mathcal{F}_2$ 的精确 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径为 $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2) = \left(\frac{\sqrt{9n^2 + 4\sinh^{-1}(1)(n + \sinh^{-1}(1))} - 3n}{2(n + \sinh^{-1}(1))}\right)^{1/n}$。
• $\mathcal{F}_3$ 的 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径与 $\mathcal{F}_2$ 相同，即 $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_3) = R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2)$。
• 极值函数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$ 给出了 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 的精确边界，其级数展开为 $f_0(z) = z + z^2 + \frac{z^3}{2} + \frac{z^4}{9} - \frac{z^5}{72} - \cdots$。
• $\mathcal{BS}^{*}(0)$ 类的 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径为 $\sinh^{-1}(1) \approx 0.881374$，大于 $\mathcal{F}_1$ 类的半径。
• 结果是精确的，如通过极值函数在 $z = R e^{i\pi/n}$ 处实现等式 $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right| = \sinh^{-1}(1)$ 所示。