[论文解读] Surface operators in four-dimensional topological gauge theory and Langlands duality

Anton Kapustin, Kevin Setter+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文通过GL扭的N=4超杨-米尔斯理论，对四维拓扑规范理论中的表面算符进行分类，表明其边界条件的2-范畴——在蒙托嫩-奥利韦对偶下等价——为几何朗道斯对偶提供了一个2-范畴类比。当t=i时，表面算符的2-范畴通过规范化的罗赞茨基-沃滕模型完全描述；当t=0和t=1时，阿贝尔情形揭示了在电-磁对偶作用下的丰富结构，尽管缺乏威尔逊-'t Hooft线，仍为量子几何朗道斯对偶提供了框架。

ABSTRACT

We study surface and line operators in the GL-twisted N=4 gauge theory in four dimensions. Their properties depend on the parameter t which determines the BRST operator of theory. For t=i we propose a complete description of the 2-category of surface operators in terms of module categories. We also determine the monoidal category of line operators which includes Wilson lines as special objects. For t=1 and t=0 we only discuss surface and line operators in the abelian case. Applications to the categorification of the local geometric Langlands duality and its quantum version are briefly described. In the appendices we discuss several 3d and 2d topological field theories with gauge fields. In particular, we explain a relationship between the category of branes in the gauged B-model and the equivariant derived category of coherent sheaves.

研究动机与目标

• 对GL扭的四维N=4超杨-米尔斯理论中的表面算符作为非局域可观测量进行分类与研究。
• 理解蒙托嫩-奥利韦对偶如何作用于表面算符及其相关线算符。
• 通过在圆上紧化得到的三维边界条件，提供几何朗道斯对偶与量子几何朗道斯对偶的2-范畴形式化。
• 分析紧化后产生的三维拓扑场论的结构，特别是当t=0、i和1时，理论展现出新颖或熟悉的拓扑特征。
• 建立在对偶规范群G与L G下表面算符的2-范畴之间的等价性，尤其在阿贝尔U(1)情形下。

提出的方法

• 使用GL扭从N=4 SYM构造一个参数化为复结构t的四维拓扑场论(TFT)。
• 通过在圆上紧化四维TFT，得到一个三维TFT，其边界条件的2-范畴对应于四维中表面算符的2-范畴。
• 对t=i情形分析三维TFT，表明其为规范化的罗赞茨基-沃滕模型，从而实现表面算符的完全分类。
• 研究t=0和t=1时的阿贝尔表面算符，此时三维理论虽不熟悉，但允许非平凡的对偶作用。
• 通过在区间上进一步紧化得到二维TFT，分析膜类别与缺陷线的可逆性。
• 将规范B模型中膜的范畴识别为凝聚层的等变导出范畴，特殊情形下等价于D^b(Coh(C[2]))。

实验结果

研究问题

• RQ1 在GL扭的四维N=4超杨-米尔斯理论中，表面算符如何组织成一个2-范畴，该结构与朗道斯对偶有何关系？
• RQ2 当GL扭参数t=i时，表面算符的2-范畴结构为何？其与罗赞茨基-沃滕模型有何关联？
• RQ3 在t=0和t=1的阿贝尔情形下，电-磁对偶如何作用于表面算符及其内部线算符？
• RQ4 在t=0时，尽管缺乏威尔逊线和't Hooft线，是否可通过表面算符与量子几何朗道斯对偶相容？
• RQ5 二维规范拓扑sigma模型中膜的范畴与等变导出范畴之间有何关系？

主要发现

• 当t=i时，四维GL扭理论中表面算符的2-范畴完全描述为规范化的罗赞茨基-沃滕模型中边界条件的2-范畴。
• 当t=0时，尽管体线算符是平凡的，阿贝尔表面算符仍支持丰富的线算符类别，且在电-磁对偶作用下非平凡地变换。
• 在U(1)规范理论中，t=i与t=1时表面算符的2-范畴在电-磁对偶下等价，为[15]中的结果提供了2-范畴类比。
• 目标为点的二维规范B模型中膜的范畴等价于C[2]上凝聚层的导出范畴，与已知二维TFT结构一致。
• 具有U(1)规范群的二维A型规范理论同构于目标为C[2]的B模型，其膜的范畴等价于D^b(Coh(C[2]))。
• 在t=0时，通过在圆上紧化四维理论得到的三维TFT并非N=8三维超杨-米尔斯理论的扭化形式，因其包含周期性标量与紊乱算符，与R值标量情形不同。