[论文解读] Symmetry-Preserving Quadratic Lindbladian and Dissipation Driven Topological Transitions in Gaussian States

Liang Mao, Fan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy参考文献 46被引用 3

一句话总结

该论文提出，在开放量子系统的Lindbladian演化过程中，密度矩阵的拓扑结构——通过其模哈密顿量的拓扑不变量表征——可发生动力学相变。对于费米子高斯态，保持对称性的Lindbladian会保持模哈密顿量的对称性类，当初始态非平凡时，可引发拓扑相变；该现象在AIII和DIII对称性类中得到验证，其特征体现为相变点处密度矩阵本征值谱的信号。

ABSTRACT

The dynamical evolution of an open quantum system can be governed by the Lindblad equation of the density matrix. In this paper, we propose to characterize the density matrix topology by the topological invariant of its modular Hamiltonian. Since the topological classification of such Hamiltonians depends on their symmetry classes, a primary issue we address is determining the requirement for the Lindbladian operators, under which the modular Hamiltonian can preserve its symmetry class during the dynamical evolution. We solve this problem for the fermionic Gaussian state and for the modular Hamiltonian being a quadratic operator of a set of fermionic operators. When these conditions are satisfied, along with a nontrivial topological classification of the symmetry class of the modular Hamiltonian, a topological transition can occur as time evolves. We present two examples of dissipation-driven topological transitions where the modular Hamiltonian lies in the AIII class with U(1) symmetry and the DIII class without U(1) symmetry. By a finite size scaling, we show that this density matrix topology transition occurs at a finite time. We also present the physical signature of this transition.

研究动机与目标

• 研究在开放量子系统的Lindbladian演化过程中，密度矩阵的拓扑结构是否可能发生动力学转变。
• 确定Lindbladian算符在何种条件下能保持高斯态中模哈密顿量的对称性类。
• 证明即使初始模哈密顿量与系统哈密顿量无直接关联，拓扑相变仍可发生。
• 通过密度矩阵本征值谱提供此类相变的可观测信号。

提出的方法

• 通过 $ \hat{\rho} = e^{-\hat{K}} $ 定义模哈密顿量，其中 $ \hat{K} $ 为二次费米子算符。
• 在Altland-Zirnbauer对称性类中分析 $ \hat{K} $ 的拓扑分类，重点关注AIII和DIII类。
• 通过确保Lindblad算符与 $ \hat{K} $ 的对称性操作对易，推导出保持对称性的Lindbladian，使用条件 $ \mathcal{S} \hat{L}_{\mu} \mathcal{S}^{-1} = \hat{L}_{\mu} $。
• 在Lindblad方程下计算 $ \hat{K} $ 的时间演化，追踪拓扑不变量的变化。
• 对两个模型进行数值模拟：一个在AIII类中具有U(1)对称性，另一个在DIII类中无U(1)对称性。
• 通过观察临界时刻密度矩阵纯度能隙的消失来诊断相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在开放量子系统的Lindbladian演化过程中，密度矩阵的拓扑结构（通过模哈密顿量编码）是否可能发生动力学相变？
• RQ2 Lindblad算符在何种条件下能保持模哈密顿量在时间演化中的对称性类？
• RQ3 密度矩阵本征值谱中拓扑相变的可观测信号是什么？
• RQ4 当初始态具有非平凡拓扑但稳态为平凡时，模哈密顿量的拓扑不变量如何演化？
• RQ5 此类相变是否可在实验中观测到？哪些物理可观测量可作为其信号？

主要发现

• 当初始态具有非平凡拓扑而稳态为平凡时，由保持对称性的Lindbladian驱动，模哈密顿量中发生拓扑相变。
• 在AIII类示例中，陈数在临界时间从1变为0，同时模哈密顿量变得无能隙，纯度能隙消失。
• 在DIII类示例中，Fu-Kane $ Z_2 $ 不变量从-1（非平凡）变为+1（平凡），相变点处纯度能隙消失得到证实。
• 密度矩阵的本征值表现出清晰的相变信号：最大本征值 $ \lambda_0 $ 不再与其余本征值由有限能隙分离。
• 只要Lindblad算符保持相关对称性（U(1)、时间反演或手征对称性），相变即保持鲁棒，确保 $ \hat{K} $ 的对称性类得以维持。
• 结果表明，集合几何相位可能是AIII类中拓扑不变量的可观测量探测器，为实验提供潜在信号。