[论文解读] Symmetries of categorical representations and the quantum Ngô action

Dani Ben‐Zvi, Sam Gunningham|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用 13

一句话总结

本文通过构建从 Whittaker 族到伴随等变 D-模的辫子张量函子（即量子 Ngô 映射），实现了由半单李代数上正规中心化子的群概形所导出的经典 Ngô 作用的普遍量子化。关键结果是通过中心作用获得了一类范畴化的交换 G-不变算子族，从而在量子可积系统、特征 sheaf 以及特征簇上同调中揭示了新的对称性。

ABSTRACT

We observe that all classical Hamiltonian systems coming from the invariant polynomials on a reductive Lie algebra g can be integrated in a universal way. This is a consequence of Ngô's action of the group scheme J of regular centralizers in G on all centralizers: the Hamiltonian flows associated to invariant polynomials integrate to an action of J as commutative symplectic groupoid. We quantize the Ngô action, providing a universal integration for all quantum Hamiltonian systems coming from the center Z=Z(Ug) of the enveloping algebra. Namely we extend Kostant's Whittaker description of Z to the action of a commutative quantum groupoid Wh, the bi-Whittaker Hamiltonian reduction of $D_G$, which also integrates all quantum Hamiltonian systems coming from the action of Z. These actions come from a braided tensor functor, the quantum Ngô map, from the W-category (modules for Wh) to adjoint-equivariant D-modules on G, giving a categorical family of G-invariant commuting operators on any strong G-category. This action also leads to a notion of Langlands parameters for categorical representations of G, refined central character for character sheaves, and a new symmetry of homology of character varieties. We derive our construction as the Langlands dual form of a simple symmetry principle for groupoids. Namely the symmetric monoidal category of equivariant sheaves (modules for the groupoid algebra) acts centrally on the corresponding convolution category. In particular modules for the nil-Hecke algebra for any Kac-Moody group act centrally on the corresponding Iwahori-Hecke category. We deduce both the Ngô action and its quantization from the case of the Langlands dual equivariant affine Grassmannian using the renormalized Geometric Satake theorem of Bezrukavnikov-Finkelberg.

研究动机与目标

• 为与泛包络代数 𝔘𝔤 的中心相关的经典哈密顿系统提供普遍量子化。
• 通过量子 Ngô 映射作为辫子张量函子，构建一类用于交换 G-不变算子的范畴框架。
• 通过双 Whittaker 哈密顿约化与 nil-DAHA，将经典 Ngô 作用推广至量子设置。
• 为范畴表示与特征 sheaf 定义 Langlands 参数与精细中心特征。
• 通过量子作用在曲面特征簇的同调中揭示一种新的交换对称性。

提出的方法

• 利用重整化的几何 Satake 定理，将 G 的 W-族识别为 Langlands 对偶群 G∨ 的仿射 Grassmannian 上等变层的范畴。
• 将量子 Ngô 映射构造为从 Whittaker 族 ℂWh 到卷积范畴 D(G//ad G) 的中心的辫子张量函子。
• 通过 D-模代数 DG 的双 Whittaker 约化实现量子 Kostant 截面，从而得到一个交换的量子群概形 ℚWh。
• 利用等变层的对称张量结构，通过余交换 Hopf 群概形结构在卷积范畴上定义中心作用。
• 应用 ind-正则 D-模与过滤 D-模的形式化方法，处理量子设置中的上同调分次与形变。
• 利用横截变换与抛物诱导/限制，将 Whittaker 族与球面 Hecke 族关联，并在局部化后建立 Morita 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对中心化子上的经典 Ngô 作用进行普遍量子化，以获得一个量子哈密顿系统？
• RQ2 量子群概形 ℚWh 作用于 G-不变 D-模上的范畴结构是什么？
• RQ3 量子 Ngô 映射如何在几何表示理论中提供一类交换算子的普遍家族？
• RQ4 量子作用如何对范畴表示的 Langlands 参数概念进行细化？
• RQ5 量子 Ngô 作用在曲面特征簇的同调中诱导出何种新对称性？

主要发现

• 量子 Ngô 映射被实现为从 Whittaker 族 ℂWh 到卷积范畴 D(G//ad G) 的 Drinfeld 中心的辫子张量函子，为量子可积性提供普遍机制。
• 量子群概形 ℚWh 的作用将 Kostant 的 Whittaker 描述中心 𝔻𝔤 整合成一个交换的量子群概形，推广了经典 Ngô 作用。
• 该构造通过 W-族的中心作用，在任意强 G-范畴上生成一类 G-不变交换算子的范畴族。
• 在局部化后，量子 Ngô 映射等价于对称张量范畴自然嵌入其 Drinfeld 中心，与已知构造一致。
• 量子作用在曲面特征簇的同调上诱导出一种新的交换对称性，推广了经典的单值作用。
• 在阿贝尔情形（G = T）下，量子 Ngô 映射通过共特征格作用群概形的卷积代数显式实现，确认了重整化的 Satake 等价。